(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cónicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cónica.
a)
b)
c)
d)
( )Circunferência
( )Hipérbole
( ) Vazio
( )Retas concorrentes
a)
b)
c)
d)
( )Circunferência
( )Hipérbole
( ) Vazio
( )Retas concorrentes
Passo 1
O enunciado pede para associar cada equação a)–d) a um dos tipos de cónicas: circunferência, hipérbole, conjunto vazio ou retas concorrentes. Vamos usar dois critérios principais:
- Para identificar vazios verificamos se uma soma de quadrados fica negativa (sem solução real).
- Para retas concorrentes reconhecemos uma diferença de quadrados que se fatoriza em duas retas.
- Para circunferência completamos o quadrado em
e . - Para hipérbole basta ver que temos diferença de quadrados igual a constante não nula.
Passo 2
Analisando a)
:
Multiplicando ambos os lados por dá
Multiplicando ambos os lados por
Como soma de dois quadrados não pode ser negativa no ℝ, não há pontos que satisfaçam essa equação. Portanto é o conjunto vazio.
Passo 3
Analisando b)
:
Reescrevendo como diferença de quadrados:
Reescrevendo como diferença de quadrados:
Isso descreve a união de duas retas que passam pela origem, logo são retas concorrentes.
Passo 4
Analisando c)
:
Completando o quadrado em e
:
Completando o quadrado em
Substituindo na equação original:
Isso é uma circunferência de centro
e raio
.
Passo 5
Analisando d)
:
Reescrevendo em forma padrão:
Reescrevendo em forma padrão:
que é claramente a equação de uma hipérbole (diferença de quadrados igual a constante não nula).
Passo 6
Agora preenchemos cada tipo com a letra da equação correspondente:
( ) Circunferência → c
( ) Hipérbole → d
( ) Vazio → a
( ) Retas concorrentes → b
( ) Hipérbole → d
( ) Vazio → a
( ) Retas concorrentes → b
Resposta
(c) Circunferência
(d) Hipérbole
(a) Vazio
(b) Retas concorrentes
(d) Hipérbole
(a) Vazio
(b) Retas concorrentes