(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cónicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cónica.
a) -x^{2}-y^{2}=2
b) x^{2}-2 y^{2}=0
c) x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0
d) 3 x^{2}=-2+y^{2}
( )Circunferência
( )Hipérbole
( ) Vazio
( )Retas concorrentes

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação a)–d) a um dos tipos de cónicas: circunferência, hipérbole, conjunto vazio ou retas concorrentes. Vamos usar dois critérios principais:
  1. Para identificar vazios verificamos se uma soma de quadrados fica negativa (sem solução real).
  2. Para retas concorrentes reconhecemos uma diferença de quadrados que se fatoriza em duas retas.
  3. Para circunferência completamos o quadrado em x e y.
  4. Para hipérbole basta ver que temos diferença de quadrados igual a constante não nula.

Passo 2

Analisando a) -x^{2}-y^{2}=2:
Multiplicando ambos os lados por -1
x^{2}+y^{2}=-2.
Como soma de dois quadrados não pode ser negativa no ℝ, não há pontos que satisfaçam essa equação. Portanto é o conjunto vazio.

Passo 3

Analisando b) x^{2}-2y^{2}=0:
Reescrevendo como diferença de quadrados:
x^{2} - (\sqrt{2}\,y)^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - \sqrt{2}\,y)(x + \sqrt{2}\,y)=0.
Isso descreve a união de duas retas que passam pela origem, logo são retas concorrentes.

Passo 4

Analisando c) x^{2}+y^{2}-6x-4y+8=0:
Completando o quadrado em x e y:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9, \quad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituindo na equação original:
(x-3)^{2}-9 + (y-2)^{2}-4 + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5.
Isso é uma circunferência de centro (3,2) e raio \sqrt{5}.

Passo 5

Analisando d) 3x^{2} = -2 + y^{2}:
Reescrevendo em forma padrão:
y^{2} - 3x^{2} = 2,
que é claramente a equação de uma hipérbole (diferença de quadrados igual a constante não nula).

Passo 6

Agora preenchemos cada tipo com a letra da equação correspondente:
( ) Circunferência → c
( ) Hipérbole → d
( ) Vazio → a
( ) Retas concorrentes → b

Resposta

(c) Circunferência
(d) Hipérbole
(a) Vazio
(b) Retas concorrentes

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