Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.
(b) Se A \vec{x}=\lambda \vec{x}, então \vec{x} é um autovetor de A.
(c) Se A e B possuem os mesmos autovalores então A e B são semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada item, se a afirmação sobre autovalores, autovetores e semelhança de matrizes é verdadeira ou falsa. O conteúdo principal aqui é:
  • definição de autovalor e autovetor (um vetor não-zero \vec x tal que A\vec x=\lambda\vec x);
  • independência linear de autovetores;
  • conceito de matrizes semelhantes (existência de P invertível tal que B=P^{-1}AP).

Passo 2

Analisando (a): “Se \vec v_{1} e \vec v_{2} são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.”
Isto é falso: basta um autovalor de multiplicidade geométrica maior que 1. Por exemplo, considere a matriz identidade em \mathbb R^{2}:
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Qualquer vetor não-zero é autovetor de I com o mesmo autovalor \lambda=1. Em particular, \vec v_{1}=(1,0) e \vec v_{2}=(0,1) são LI e ambos satisfazem
I\vec v_{i}=1\cdot\vec v_{i},\quad i=1,2,
mas correspondem ao mesmo autovalor \lambda=1.]

Passo 3

Analisando (b): “Se A\vec x=\lambda \vec x, então \vec x é um autovetor de A.”
Isto é verdadeiro, pois coincide exatamente com a definição de autovetor, que exige apenas \vec x\neq\vec0 e
A\vec x=\lambda\,\vec x.
Logo, toda solução não-nula dessa equação é, por definição, um autovetor de A.

Passo 4

Analisando (c): “Se A e B possuem os mesmos autovalores então A e B são semelhantes.”
Isto é falso: ter o mesmo polinômio característico não garante que as matrizes tenham a mesma forma de Jordan. Por exemplo, em \mathbb R^{2} defina
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Ambas têm autovalor único \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2, mas A é diagonalizável enquanto B não é. Não existe P invertível tal que B=P^{-1}AP, então elas não são semelhantes.]

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa

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