Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se
e
são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.
(b) Se
, então
é um autovetor de
.
(c) Se
e
possuem os mesmos autovalores então
e
são semelhantes.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada item, se a afirmação sobre autovalores, autovetores e semelhança de matrizes é verdadeira ou falsa. O conteúdo principal aqui é:
- definição de autovalor e autovetor (um vetor não-zero
tal que ); - independência linear de autovetores;
- conceito de matrizes semelhantes (existência de
invertível tal que ).
Passo 2
Analisando (a): “Se
e
são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos.”
Isto é falso: basta um autovalor de multiplicidade geométrica maior que . Por exemplo, considere a matriz identidade em
:
Isto é falso: basta um autovalor de multiplicidade geométrica maior que
Qualquer vetor não-zero é autovetor de
com o mesmo autovalor
. Em particular,
e
são LI e ambos satisfazem
mas correspondem ao mesmo autovalor
.]
Passo 3
Analisando (b): “Se
, então
é um autovetor de
.”
Isto é verdadeiro, pois coincide exatamente com a definição de autovetor, que exige apenas e
Isto é verdadeiro, pois coincide exatamente com a definição de autovetor, que exige apenas
Logo, toda solução não-nula dessa equação é, por definição, um autovetor de
.
Passo 4
Analisando (c): “Se
e
possuem os mesmos autovalores então
e
são semelhantes.”
Isto é falso: ter o mesmo polinômio característico não garante que as matrizes tenham a mesma forma de Jordan. Por exemplo, em defina
Isto é falso: ter o mesmo polinômio característico não garante que as matrizes tenham a mesma forma de Jordan. Por exemplo, em
Ambas têm autovalor único
com multiplicidade algébrica
, mas
é diagonalizável enquanto
não é. Não existe
invertível tal que
, então elas não são semelhantes.]
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa