(Questão 02) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) 6 x^{2}+5 y^{2}-4 z^{2}=-9
b) -x^{2}+\sqrt{3} y^{2}-8 z=0
c) x^{2}-y+z^{2}=0
d) y^{2}+3 z^{2}=1-x^{2}
( )Sela (Parabolóide Hiperbólico)
( )Parabolóide Elíptico
( )Hiperbolóide de 2 folhas
( )Elipsóide

Passo 1

O enunciado pede para relacionar cada uma das quatro superfícies quádricas às suas equações dadas. O conteúdo aqui é classificação de quádricas via análise do termo linear (presença de variável não ao quadrado) e do padrão de sinais dos coeficientes quadráticos. Vamos reescrever cada caso em forma canônica ou perceber o tipo pela presença/ausência de termo linear e pelos sinais.

Passo 2

Analisando as equações sem termo linear (apenas variáveis ao quadrado):
— (a) 6x^{2}+5y^{2}-4z^{2}=-9. Se isolarmos em forma padrão:
-6x^{2}-5y^{2}+4z^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{9/4}-\frac{x^{2}}{3/2}-\frac{y^{2}}{9/5}=1.
Temos dois coeficientes negativos e um positivo igual a 1, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas.
— (d) y^{2}+3z^{2}=1-x^{2}. Reescrevendo:
x^{2}+y^{2}+3z^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{1/3}=1.
Todos os termos quadráticos são positivos e somam 1, ou seja, é um elipsóide.

Passo 3

Agora as equações com termo linear em alguma variável (forma parabólica):
— (c) x^{2}-y+z^{2}=0. Reorganizando:
y=x^{2}+z^{2}.
Temos uma variável y linear igual à soma de dois quadrados com coeficiente positivo, então é um parabolóide elíptico.

Passo 4

— (b) -x^{2}+\sqrt{3}\,y^{2}-8z=0. Isolando z:
z=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}y^{2}.
Aqui z está linear e os quadrados de x e y aparecem com sinais opostos, configurando um parabolóide hiperbólico (sela).

Resposta

(b) Sela
(c) Parabolóide Elíptico
(a) Hiperbolóide de 2 folhas
(d) Elipsóide

Exercícios relacionados