Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(y-x, 2 x-2 y)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
por
T(x,y)=(y - x,\;2x - 2y)
e pede verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar posto e nulidade. Vamos usar a definição de transformação linear e o Teorema Núcleo–Imagem.

Passo 2

Verifica-se diretamente que \;T((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2);e; T(c(x,y))=c\,T(x,y), logo T é linear.

Passo 3

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[6pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Como a segunda linha é -2 vezes a primeira, temos \operatorname{rank}(A)=1.]

Passo 4

Pelo Teorema Núcleo–Imagem,
\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim\mathbb{R}^2=2,
então \dim\ker T=2-1=1.

Resposta

T é linear, posto 1 e nulidade 1.

Exercícios relacionados