(Questão 03)[2,0 pontos] Considere as seguintes sentenças:
- Se
, então
;
-
é LI, então
;
é LD;
- Se
é LI, então
é base, qualquer que seja
.
Assinale a alternativa que corresponde às veracidades das afirmaçõs anteriores na ordem em que foram apresentadas, sendo F , correspondente às setenças FALSAS, e V, às sentenças VERDADEIRAS.
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F
Passo 1
O enunciado é sobre álgebra vetorial em
. Precisamos julgar, na ordem dada, as sentenças envolvendo: projeção de um vetor, produto misto (ou triplo escalar), produto interno, produto vetorial (denotado por
) e condição de base em
. Vamos aplicar as definições e propriedades de cada um desses conceitos.
Passo 2
Sentença 1: “Se
, então
.”
Como implica
para algum escalar
. Pela definição
Como
Logo, a sentença 1 é verdadeira.
Passo 3
Sentença 2: “Se
é LI, então
.”
Aqui é o produto misto (determinante da matriz cujas colunas são
). Linearmente independentes só garantem
; o sinal pode ser positivo ou negativo conforme a orientação. Portanto, a sentença 2 é falsa.
Aqui
Passo 4
Sentença 3: “
.”
Esta é a própria definição de norma induzida pelo produto interno em . Logo, a sentença 3 é verdadeira.
Esta é a própria definição de norma induzida pelo produto interno em
Passo 5
Sentença 4: “
é LD.”
O produto vetorial é não nulo exatamente quando
e
são linearmente independentes (LI), e nulo quando são paralelos (LD). A equivalência dada inverte o sentido, por isso é falsa.
O produto vetorial
Passo 6
Sentença 5: “Se
é LI, então
é base, qualquer que seja
.”
Para formar base em é preciso que o trio seja LI. Escolher
arbitrário pode introduzir dependência linear, então a sentença é falsa.
Para formar base em
Resposta
(e) V, F, V, F, F