(Questão 03)[2,0 pontos] Considere as seguintes sentenças:
  • Se \vec{u} / / \vec{v}, então \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}=\vec{v};
  • \operatorname{Se}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]>0;
    * \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2} ;
    * \vec{u} \wedge \vec{v} \neq \overrightarrow{0} \Leftrightarrow(\vec{u}, \vec{v}) é LD;
  • Se (\vec{u}, \vec{v}) é LI, então (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é base, qualquer que seja \vec{w}.
Assinale a alternativa que corresponde às veracidades das afirmaçõs anteriores na ordem em que foram apresentadas, sendo F , correspondente às setenças FALSAS, e V, às sentenças VERDADEIRAS.
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F

Passo 1

O enunciado é sobre álgebra vetorial em \mathbb{R}^3. Precisamos julgar, na ordem dada, as sentenças envolvendo: projeção de um vetor, produto misto (ou triplo escalar), produto interno, produto vetorial (denotado por \wedge) e condição de base em \mathbb{R}^3. Vamos aplicar as definições e propriedades de cada um desses conceitos.

Passo 2

Sentença 1: “Se \vec{u}//\vec{v}, então \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\vec{v}.”
Como \vec{u}//\vec{v} implica \vec{v}=\lambda\vec{u} para algum escalar \lambda. Pela definição
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} =\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u} =\frac{\lambda\,\vec{u}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u} =\lambda\,\vec{u} =\vec{v}.
Logo, a sentença 1 é verdadeira.

Passo 3

Sentença 2: “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é LI, então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0.”
Aqui [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] é o produto misto (determinante da matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}). Linearmente independentes só garantem [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\neq0; o sinal pode ser positivo ou negativo conforme a orientação. Portanto, a sentença 2 é falsa.

Passo 4

Sentença 3: “ \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.”
Esta é a própria definição de norma induzida pelo produto interno em \mathbb{R}^n. Logo, a sentença 3 é verdadeira.

Passo 5

Sentença 4: “ \vec{u}\wedge\vec{v}\neq\overrightarrow{0}\Leftrightarrow(\vec{u},\vec{v}) é LD.”
O produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v} é não nulo exatamente quando \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes (LI), e nulo quando são paralelos (LD). A equivalência dada inverte o sentido, por isso é falsa.

Passo 6

Sentença 5: “Se (\vec{u},\vec{v}) é LI, então (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, qualquer que seja \vec{w}.”
Para formar base em \mathbb{R}^3 é preciso que o trio seja LI. Escolher \vec{w} arbitrário pode introduzir dependência linear, então a sentença é falsa.

Resposta

(e) V, F, V, F, F

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