QUESTÃO 01 (1,0): Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F) e assinale a alternativa que representa a sequência correta, de cima para baixo
Sejam A e B matrizes quaisquer, \mathbf{A}^{-1}, \mathbf{B}^{-1} matrizes inversas, \mathbf{A}^{\'} e \mathbf{B}^{\'} transpostas, \mathbf{0}= matriz nula :
(V) (-A)^{\'}=-\left(A^{\'}\right)
(F) \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}
(v) Se \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são simétricas então \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}
(V) A é uma matriz triangular superior, então A^{\'} é uma matriz triangular inferior
(F) \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}
A sequência correta é:
(a) V-V-V-F-V
(b) V-F-V-V-V
(c) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}
(d) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{V}-\mathrm{V}
(e) \mathrm{F}-\mathrm{V}-\mathrm{V}-\mathrm{F}-\mathrm{V}
(f) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, para cada uma das cinco afirmativas abaixo, se é Verdadeira (V) ou Falsa (F), e depois indique a alternativa que corresponde à sequência correta (de cima para baixo). As afirmativas são:
(-A)^{\prime} = -\bigl(A^{\prime}\bigr).
Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}.
Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}.
Se A é uma matriz triangular superior, então A^{\prime} é uma matriz triangular inferior.
Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}.
Vou analisar cada item, justificar (mostrando provas diretas ou contraexemplos) e ao final apresentar a sequência Verdadeiro/Falso correspondente.
Passo 2
Primeiro, algumas ideias e definições que usarei (explicadas de forma direta):
Transposta: para uma matriz A=(a_{ij}), a transposta A^{\prime} tem entradas a'_{ij}=a_{ji}. Ou seja, a transposição troca linhas por colunas.
Linearidade da transposta: a transposição é linear e satisfaz (\alpha A + \beta B)^{\prime} = \alpha A^{\prime} + \beta B^{\prime} para escalares \alpha,\beta. Em particular, (-A)^{\prime} = -(A^{\prime}). Também vale (AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}.
Matriz nula \mathbf{0}: matriz com todas entradas zero. Quando escrevem \mathbf{A B}=\mathbf{0} significa a matriz produto é a nula.
Simétrica: A é simétrica se A^{\prime}=A.
Triangular superior: A é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal são zero: a_{ij}=0 para i>j. A transposta de uma triangular superior é triangular inferior (porque os zeros abaixo da diagonal viram zeros acima após trocar índices).
Não comutatividade em geral: matrizes geral- mente não comutam; ou seja, em geral AB \neq BA. Portanto, sempre que uma afirmativa implica comutação, tenho que checar se há hipótese suficiente para forçá-la ou então fornecer contraexemplo.
Com essas ideias, vou analisar item por item.
Passo 3
Item 1: (-A)^{\prime} = -\bigl(A^{\prime}\bigr).
Explicação detalhada: seja A=(a_{ij}). Então -A tem entradas (-A)_{ij}=-a_{ij}. A transposta de -A tem entradas ((-A)^{\prime})_{ij}=(-A)_{ji}=-a_{ji}. Por outro lado, A^{\prime} tem entradas a_{ji}, então -\bigl(A^{\prime}\bigr) tem entradas -a_{ji}. Como as entradas coincidem para todo i,j, as matrizes são iguais. Isso é um caso concreto da linearidade da transposta com escalar -1.
Conclusão: o item 1 é Verdadeiro (V).
Passo 4
Item 2: Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}.
Comentário: a afirmativa seria verdadeira se estivéssemos lidando com números (produto zero implica um dos fatores zero), mas matrizes não formam domínio de integridade; é possível ter produtos nulos sem que nenhum fator seja nulo. Mostro um contraexemplo 2×2.
Mas A e B não são a matriz nula (cada uma tem pelo menos um elemento não nulo). Logo existe produto nulo sem fatores nulos.
Conclusão: o item 2 é Falso (F).]
Passo 5
Item 3: Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}.
Comentário: simetria significa A^{\prime}=A e B^{\prime}=B. Isso não garante, em geral, que A e B comutem. Para que AB seja igual a BA é preciso uma condição extra (por exemplo, que A e B sejam diagonalizáveis numa mesma base ou que um seja função polinomial do outro). Então a afirmativa é suspeita. Vou dar um contraexemplo simples.
Observa-se AB \neq BA. Portanto ser simétrica não garante comutatividade.
Conclusão: o item 3 é Falso (F).]
Passo 6
Item 4: Se A é uma matriz triangular superior, então A^{\prime} é uma matriz triangular inferior.
Explicação detalhada: por definição, A triangular superior significa que a_{ij}=0 sempre que i>j (entradas abaixo da diagonal são zero). A transposta A^{\prime} tem entradas a'_{ij}=a_{ji}. Para A^{\prime} ser triangular inferior precisamos ter a'_{ij}=0 sempre que i<j (entradas acima da diagonal são zero). Mas se i<j, então j>i e, pela condição de triangular superior, a_{ji}=0. Portanto a'_{ij}=a_{ji}=0 para todo i<j. Logo A^{\prime} tem zeros estritamente acima da diagonal, isto é, é triangular inferior.
Item 5: Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}.
Comentário: em geral multiplicação de matrizes não é comutativa, então não podemos trocar a ordem. É possível ter AB=\mathbf{0} mas BA\neq \mathbf{0}. Vou dar um contraexemplo 2×2.
Agora verifico as alternativas dadas: nenhuma das alternativas (a)–(e) coincide com a sequência V–F–F–V–F. Portanto a alternativa correta é a opção "Nenhuma das anteriores".éçã