QUESTÃO 01 (1,0): Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F) e assinale a alternativa que representa a sequência correta, de cima para baixo
Sejam A e B matrizes quaisquer, \mathbf{A}^{-1}, \mathbf{B}^{-1} matrizes inversas, \mathbf{A}^{\'} e \mathbf{B}^{\'} transpostas, \mathbf{0}= matriz nula :
(V) (-A)^{\'}=-\left(A^{\'}\right)
(F) \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}
(v) Se \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são simétricas então \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}
(V) A é uma matriz triangular superior, então A^{\'} é uma matriz triangular inferior
(F) \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}
A sequência correta é:
(a) V-V-V-F-V
(b) V-F-V-V-V
(c) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}
(d) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{V}-\mathrm{V}
(e) \mathrm{F}-\mathrm{V}-\mathrm{V}-\mathrm{F}-\mathrm{V}
(f) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, para cada uma das cinco afirmativas abaixo, se é Verdadeira (V) ou Falsa (F), e depois indique a alternativa que corresponde à sequência correta (de cima para baixo). As afirmativas são:
  1. (-A)^{\prime} = -\bigl(A^{\prime}\bigr).
  2. Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}.
  3. Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}.
  4. Se A é uma matriz triangular superior, então A^{\prime} é uma matriz triangular inferior.
  5. Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}.
Vou analisar cada item, justificar (mostrando provas diretas ou contraexemplos) e ao final apresentar a sequência Verdadeiro/Falso correspondente.

Passo 2

Primeiro, algumas ideias e definições que usarei (explicadas de forma direta):
  • Transposta: para uma matriz A=(a_{ij}), a transposta A^{\prime} tem entradas a'_{ij}=a_{ji}. Ou seja, a transposição troca linhas por colunas.
  • Linearidade da transposta: a transposição é linear e satisfaz (\alpha A + \beta B)^{\prime} = \alpha A^{\prime} + \beta B^{\prime} para escalares \alpha,\beta. Em particular, (-A)^{\prime} = -(A^{\prime}). Também vale (AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}.
  • Matriz nula \mathbf{0}: matriz com todas entradas zero. Quando escrevem \mathbf{A B}=\mathbf{0} significa a matriz produto é a nula.
  • Simétrica: A é simétrica se A^{\prime}=A.
  • Triangular superior: A é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal são zero: a_{ij}=0 para i>j. A transposta de uma triangular superior é triangular inferior (porque os zeros abaixo da diagonal viram zeros acima após trocar índices).
  • Não comutatividade em geral: matrizes geral- mente não comutam; ou seja, em geral AB \neq BA. Portanto, sempre que uma afirmativa implica comutação, tenho que checar se há hipótese suficiente para forçá-la ou então fornecer contraexemplo.
Com essas ideias, vou analisar item por item.

Passo 3

Item 1: (-A)^{\prime} = -\bigl(A^{\prime}\bigr).
Explicação detalhada: seja A=(a_{ij}). Então -A tem entradas (-A)_{ij}=-a_{ij}. A transposta de -A tem entradas ((-A)^{\prime})_{ij}=(-A)_{ji}=-a_{ji}. Por outro lado, A^{\prime} tem entradas a_{ji}, então -\bigl(A^{\prime}\bigr) tem entradas -a_{ji}. Como as entradas coincidem para todo i,j, as matrizes são iguais. Isso é um caso concreto da linearidade da transposta com escalar -1.
Conclusão: o item 1 é Verdadeiro (V).

Passo 4

Item 2: Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{A}=\mathbf{0} ou \mathbf{B}=\mathbf{0}.
Comentário: a afirmativa seria verdadeira se estivéssemos lidando com números (produto zero implica um dos fatores zero), mas matrizes não formam domínio de integridade; é possível ter produtos nulos sem que nenhum fator seja nulo. Mostro um contraexemplo 2×2.
Escolha:
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Calcule AB:
AB=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 0 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 0 + 0\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Mas A e B não são a matriz nula (cada uma tem pelo menos um elemento não nulo). Logo existe produto nulo sem fatores nulos.
Conclusão: o item 2 é Falso (F).]

Passo 5

Item 3: Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}.
Comentário: simetria significa A^{\prime}=A e B^{\prime}=B. Isso não garante, em geral, que A e B comutem. Para que AB seja igual a BA é preciso uma condição extra (por exemplo, que A e B sejam diagonalizáveis numa mesma base ou que um seja função polinomial do outro). Então a afirmativa é suspeita. Vou dar um contraexemplo simples.
Escolha matrizes simétricas 2×2:
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas ( A^{\prime}=A, B^{\prime}=B). Calcule AB e BA:
AB= \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
BA= \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0\\[4pt] 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Observa-se AB \neq BA. Portanto ser simétrica não garante comutatividade.
Conclusão: o item 3 é Falso (F).]

Passo 6

Item 4: Se A é uma matriz triangular superior, então A^{\prime} é uma matriz triangular inferior.
Explicação detalhada: por definição, A triangular superior significa que a_{ij}=0 sempre que i>j (entradas abaixo da diagonal são zero). A transposta A^{\prime} tem entradas a'_{ij}=a_{ji}. Para A^{\prime} ser triangular inferior precisamos ter a'_{ij}=0 sempre que i<j (entradas acima da diagonal são zero). Mas se i<j, então j>i e, pela condição de triangular superior, a_{ji}=0. Portanto a'_{ij}=a_{ji}=0 para todo i<j. Logo A^{\prime} tem zeros estritamente acima da diagonal, isto é, é triangular inferior.
Exemplo rápido para intuir: se
A=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]0&d&e\\[4pt]0&0&f\end{pmatrix},
então
A^{\prime}=\begin{pmatrix}a&0&0\\[4pt]b&d&0\\[4pt]c&e&f\end{pmatrix},
que é triangular inferior.
Conclusão: o item 4 é Verdadeiro (V).]

Passo 7

Item 5: Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}.
Comentário: em geral multiplicação de matrizes não é comutativa, então não podemos trocar a ordem. É possível ter AB=\mathbf{0} mas BA\neq \mathbf{0}. Vou dar um contraexemplo 2×2.
Escolha:
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Calcule AB:
AB= \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Agora calcule BA:
BA= \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + 0\cdot 0 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0\\[4pt] 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},
que não é a matriz nula.
Portanto AB=\mathbf{0} mas BA\neq\mathbf{0}.
Conclusão: o item 5 é Falso (F).]

Passo 8

Resumo das decisões (de cima para baixo):
  1. V
  2. F
  3. F
  4. V
  5. F
Agora verifico as alternativas dadas: nenhuma das alternativas (a)–(e) coincide com a sequência V–F–F–V–F . Portanto a alternativa correta é a opção "Nenhuma das anteriores".éçã

Resposta

(f)

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