Questão 04(5,0):

(a) (0,5) Sejam matrizes A, B e C \in \mathcal{M}_{2 X 2} quaisquer, prove a propriedade distributiva A(B+C)=A B+A C
(b) 0,5 ) Suponham matrizes \boldsymbol{A} \boldsymbol{e} \boldsymbol{B}, de ordem \boldsymbol{M}_{2 X_{2}} quaisquer, prove a propriedade que (\boldsymbol{A B})^{\prime}=\boldsymbol{B}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}
Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{1} \\\\ -\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}+\mathbf{2} \boldsymbol{y}=b^{b}\end{array}\right., sendo \boldsymbol{b} um parâmetro qualquer :
(c) (3,0) Obtenha a forma matricial desse sistema, discriminando \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} e obtenha o valor de \boldsymbol{A}^{-\mathbf{1}} através de 2 métodos distintos, obtendo o mesmo resultado, em função de \boldsymbol{b}.
(d) (0,5) Confirme que \boldsymbol{A}^{-\mathbf{1}} realmente é a matriz inversa.
(e) (0,5) Para que valores de \boldsymbol{b} o sistema não tem solução?

Passo 1

O enunciado tem várias partes. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
  • Pedidos:
    (a) Provar a propriedade distributiva \,A(B+C)=AB+AC\,\) para matrizes \(A,B,C\in\mathcal{M}_{2\times2}\). (b) Provar que \((AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}\) para matrizes \(A,B\in\mathcal{M}_{2\times2}\) (onde \('\) denota a transposta). \text{(c)} Considerar o sistema linear \[\begin{cases} b x + y = 1,\\[4pt] -b x + 2y = b^{2}, \end{cases}
    com b\] parâmetro. Obter a forma matricial \(A X = B e calcular A^{-1} por dois métodos distintos, em função de b.
    (d) Confirmar que a matriz obtida é realmente a inversa de A.
    (e) Determinar para quais valores de b o sistema não tem solução.
  • Informações importantes dadas:
    • Todas as matrizes envolvidas são de ordem 2\times2.
    • O parâmetro b é um número qualquer (teremos que observar casos especiais, como b=0).
    • O sistema (c) foi interpretado como \;b x + y = 1 e -b x + 2y = b^{2} (esta é a leitura assumida do enunciado para prosseguir).
A resolução começa a seguir, passo a passo.]

Passo 2

Relembrando como multiplicar matrizes 2\times2 (a fórmula que vamos usar): se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto AB é a matriz 2\times2 cujas entradas são dadas por regra de soma de produtos linha-por-coluna:
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}b_{kj}.
Explicitamente,
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\[6pt] a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Isso é a definição que uso para provar propriedades como distributividade. Não há nenhum truque escondido: cada entrada do produto é soma de produtos das entradas correspondentes.]

Passo 3

Prova detalhada da distributividade \,A(B+C)=AB+AC\, (parte (a)).
  • Começo escrevendo B e C por entradas:
B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12}\\[4pt] c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}.
  • A soma B+C tem entradas obtidas somando entrada a entrada:
B+C=\begin{pmatrix}b_{11}+c_{11} & b_{12}+c_{12}\\[4pt] b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}.
  • Agora calculo A(B+C) usando a regra linha-por-coluna. Seja A=(a_{ij}). A entrada (i,j) de A(B+C) vale
\bigl(A(B+C)\bigr)_{ij}=a_{i1}(b_{1j}+c_{1j})+a_{i2}(b_{2j}+c_{2j}).
  • Distribuo os produtos escalares (propriedade distributiva em escalares, que sabemos):
\bigl(A(B+C)\bigr)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i1}c_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i2}c_{2j}.
  • Agrupo os termos que formam as entradas de AB e de AC:
\bigl(A(B+C)\bigr)_{ij}=(a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j})+(a_{i1}c_{1j}+a_{i2}c_{2j}) =(AB)_{ij}+(AC)_{ij}.
  • Como isso vale para cada entrada (i,j) da matriz (i.e., para i,j\in\{1,2\}), concluímos que as matrizes são iguais:
A(B+C)=AB+AC.
Comentário didático rápido: a distributividade de matrizes é consequência direta da definição de multiplicação (soma de produtos) e da distributividade dos números reais. Então o truque é sempre reduzir a igualdade de matrizes à igualdade de entradas correspondentes.]

Passo 4

Explicação da transposta e prova de (AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime} (parte (b)).
  • Definição de transposta: se M=(m_{ij}) é 2\times2, então a transposta M' é a matriz cujas entradas trocam linhas por colunas:
(M')_{ij}=m_{ji}.
  • Quero mostrar que a transposta do produto AB é igual ao produto B' A'. Uso a fórmula de multiplicação por entradas. A entrada (i,j) de (AB)' é, por definição,
\bigl((AB)'\bigr)_{ij}=(AB)_{ji}.
  • Pela regra do produto,
(AB)_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}.
  • Agora escrevo cada somando em termos das transpostas: a_{j1}=(A')_{1j}, a_{j2}=(A')_{2j}, b_{1i}=(B')_{i1}, b_{2i}=(B')_{i2}. Substituindo,
(AB)_{ji}=(B')_{i1}(A')_{1j}+(B')_{i2}(A')_{2j}.
  • Mas o lado direito é exatamente a regra de multiplicação para a entrada (i,j) do produto B'A':
(B'A')_{ij}=(B')_{i1}(A')_{1j}+(B')_{i2}(A')_{2j}.
  • Assim \bigl((AB)'\bigr)_{ij}=(B'A')_{ij} para todo i,j, e portanto
(AB)'=B'A'.
Comentário didático: transpor um produto inverte a ordem porque, ao transpor, linhas viram colunas — a ordem das operações muda. Esse é um fato muito útil em álgebra linear.

Passo 5

Forma matricial do sistema e identificação das matrizes [A,X,B) (parte (c), início).
  • O sistema foi escrito como
\begin{cases} b x + y = 1,\\[4pt] - b x + 2y = b^{2}, \end{cases}
com incógnitas x\] e \(y e parâmetro b.
  • Escrevendo na forma A X = B, temos
A=\begin{pmatrix}b & 1\\[4pt] -b & 2\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt] b^{2}\end{pmatrix}.
  • Observação importante: para existir A^{-1} precisamos que \det(A)\neq 0. Vou calcular o determinante e depois a inversa por dois métodos.]

Passo 6

Cálculo do determinante \det(A).
  • Para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} vale \det(A)=ad-bc.
  • No nosso caso a=b (parâmetro), b=1, c=-b, d=2. Assim
\det(A)=b\cdot 2 - (1)\cdot(-b)=2b + b = 3b.
  • Conclusão: \det(A)=3b. Portanto A é invertível se, e somente se, b\neq 0. Para b=0 A não tem inversa.]

Passo 7

Método 1 para obter A^{-1}: fórmula explícita para inversa de 2\times2.
  • Fórmula conhecida: se A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} e \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando ao nosso A (onde a=b,\;b=1,\;c=-b,\;d=2) obtemos a matriz adjunta:
\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix},
e dividindo por \det(A)=3b resulta
A^{-1}=\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix}, \qquad\text{válido para }b\neq 0.á]

Passo 8

Método 2 para obter A^{-1}: eliminação de Gauss–Jordan (detalhado passo a passo).
  • Começo com a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{cc|cc} b & 1 & 1 & 0\\[4pt] -b & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • Obs.: para realizar as divisões por b preciso assumir b\neq 0. Esse método fornece a inversa quando b\neq 0.
Passos elementares:
  1. Dividir a primeira linha por b:
R_1\leftarrow \dfrac{1}{b}R_1\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \dfrac{1}{b} & \dfrac{1}{b} & 0\\[6pt] -b & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar o elemento -b na coluna 1 da segunda linha somando b vezes a linha 1 à linha 2:
R_2\leftarrow R_2 + b R_1\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \dfrac{1}{b} & \dfrac{1}{b} & 0\\[6pt] 0 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right].
(Verificação rápida: 2 + b\cdot(1/b)=2+1=3, e as entradas da direita ficam 0+b\cdot(1/b)=1 e 1+b\cdot 0=1.)
  1. Dividir a segunda linha por 3:
R_2\leftarrow \dfrac{1}{3}R_2\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \dfrac{1}{b} & \dfrac{1}{b} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{array}\right].
  1. Eliminar o \dfrac{1}{b} na posição (1,2) subtraindo \dfrac{1}{b} vezes a segunda linha da primeira:
R_1\leftarrow R_1 - \dfrac{1}{b}R_2.
Cálculos para a parte direita da linha 1:
\text{primeira entrada direita: }\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{b}\Bigl(1-\dfrac{1}{3}\Bigr)=\dfrac{2}{3b},
\text{segunda entrada direita: }0 - \dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3b}.
  • Resultado final da reduzida:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \dfrac{2}{3b} & -\dfrac{1}{3b}\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{array}\right].
  • Portanto, a parte direita é a inversa:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3b} & -\dfrac{1}{3b}\\[6pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
  • Verificando que isso coincide com o resultado do Método 1:
\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3b} & -\dfrac{1}{3b}\\[6pt] \dfrac{b}{3b} & \dfrac{b}{3b}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3b} & -\dfrac{1}{3b}\\[6pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix},
logo os dois métodos coincidem (para b\neq 0).]

Passo 9

Confirmação de que A^{-1} realmente é a inversa (parte (d)) — verificação por multiplicação.
  • Multiplico A pela matriz obtida e verifico que sai a identidade. Use A^{-1}=\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix}.
  • Calculo produto sem o fator escalar e depois aplico o fator:
A\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b\cdot 2 + 1\cdot b & b\cdot(-1)+1\cdot b\\[6pt] (-b)\cdot 2 + 2\cdot b & (-b)\cdot(-1) + 2\cdot b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3b & 0\\[6pt] 0 & 3b\end{pmatrix}=3b\,I_2.
  • Multiplicando por \dfrac{1}{3b} obtemos I_2. Logo A A^{-1}=I_2. Pelo mesmo raciocínio (ou porque a inversa é única) tem-se A^{-1}A=I_2. Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa (quando b\neq 0).]

Passo 10

Análise de existência de solução do sistema (parte (e)).
  • Se b\neq 0\), então \(\det(A)=3b\neq 0\) e \(A\) é inversível; existe e é única a solução \(X=A^{-1}B\). - Se \(b=0\), então \(A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\). As equações tornam-se \[\begin{cases} y = 1,\\[4pt] 2y = 0^{2}=0. \end{cases}
Isso é contraditório porque a primeira exige y=1\] e a segunda exige \(y=0. Portanto, para b=0 o sistema não tem solução (é incompatível).
  • Conclusão: o sistema não tem solução exatamente para b=0. Para todo b\neq 0 há solução única dada por X=A^{-1}B.]

Resposta

(a) A(B+C)=AB+AC.\n
(b) (AB)'=B'A'.\n
(c) A=\begin{pmatrix}b & 1\\[4pt]-b & 2\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]b^{2}\end{pmatrix}. \displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt] b & b\end{pmatrix} (para b\neq 0).\n
(d) A A^{-1}=A^{-1}A=I_{2}, confirmando que é a inversa (para b\neq 0).\n
(e) O sistema não tem solução para b=0.]

Exercícios relacionados