(a) (0,5) Sejam matrizes A, B e C \in \mathcal{M}_{2 X 2} quaisquer, prove a propriedade distributiva A(B+C)=A B+A C
(b) 0,5 ) Suponham matrizes \boldsymbol{A} \boldsymbol{e} \boldsymbol{B}, de ordem \boldsymbol{M}_{2 X_{2}} quaisquer, prove a propriedade que (\boldsymbol{A B})^{\prime}=\boldsymbol{B}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}
Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{1} \\\\ -\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}+\mathbf{2} \boldsymbol{y}=b^{b}\end{array}\right., sendo \boldsymbol{b} um parâmetro qualquer :
(c) (3,0) Obtenha a forma matricial desse sistema, discriminando \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} e obtenha o valor de \boldsymbol{A}^{-\mathbf{1}} através de 2 métodos distintos, obtendo o mesmo resultado, em função de \boldsymbol{b}.
(d) (0,5) Confirme que \boldsymbol{A}^{-\mathbf{1}} realmente é a matriz inversa.
(e) (0,5) Para que valores de \boldsymbol{b} o sistema não tem solução?
Passo 1
O enunciado tem várias partes. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
Pedidos:
(a) Provar a propriedade distributiva \,A(B+C)=AB+AC\,\) para matrizes \(A,B,C\in\mathcal{M}_{2\times2}\).
(b) Provar que \((AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}\) para matrizes \(A,B\in\mathcal{M}_{2\times2}\) (onde \('\) denota a transposta).
\text{(c)} Considerar o sistema linear
\[\begin{cases} b x + y = 1,\\[4pt] -b x + 2y = b^{2}, \end{cases}
com b\] parâmetro. Obter a forma matricial \(A X = B e calcular A^{-1} por dois métodos distintos, em função de b.
(d) Confirmar que a matriz obtida é realmente a inversa de A.
(e) Determinar para quais valores de b o sistema não tem solução.
Informações importantes dadas:
Todas as matrizes envolvidas são de ordem 2\times2.
O parâmetro b é um número qualquer (teremos que observar casos especiais, como b=0).
O sistema (c) foi interpretado como \;b x + y = 1 e -b x + 2y = b^{2} (esta é a leitura assumida do enunciado para prosseguir).
A resolução começa a seguir, passo a passo.]
Passo 2
Relembrando como multiplicar matrizes 2\times2 (a fórmula que vamos usar): se
Isso é a definição que uso para provar propriedades como distributividade. Não há nenhum truque escondido: cada entrada do produto é soma de produtos das entradas correspondentes.]
Passo 3
Prova detalhada da distributividade \,A(B+C)=AB+AC\, (parte (a)).
Como isso vale para cada entrada (i,j) da matriz (i.e., para i,j\in\{1,2\}), concluímos que as matrizes são iguais:
A(B+C)=AB+AC.
Comentário didático rápido: a distributividade de matrizes é consequência direta da definição de multiplicação (soma de produtos) e da distributividade dos números reais. Então o truque é sempre reduzir a igualdade de matrizes à igualdade de entradas correspondentes.]
Passo 4
Explicação da transposta e prova de (AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime} (parte (b)).
Definição de transposta: se M=(m_{ij}) é 2\times2, então a transposta M' é a matriz cujas entradas trocam linhas por colunas:
(M')_{ij}=m_{ji}.
Quero mostrar que a transposta do produto AB é igual ao produto B' A'. Uso a fórmula de multiplicação por entradas. A entrada (i,j) de (AB)' é, por definição,
\bigl((AB)'\bigr)_{ij}=(AB)_{ji}.
Pela regra do produto,
(AB)_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}.
Agora escrevo cada somando em termos das transpostas: a_{j1}=(A')_{1j}, a_{j2}=(A')_{2j}, b_{1i}=(B')_{i1}, b_{2i}=(B')_{i2}. Substituindo,
(AB)_{ji}=(B')_{i1}(A')_{1j}+(B')_{i2}(A')_{2j}.
Mas o lado direito é exatamente a regra de multiplicação para a entrada (i,j) do produto B'A':
Assim \bigl((AB)'\bigr)_{ij}=(B'A')_{ij} para todo i,j, e portanto
(AB)'=B'A'.
Comentário didático: transpor um produto inverte a ordem porque, ao transpor, linhas viram colunas — a ordem das operações muda. Esse é um fato muito útil em álgebra linear.
Passo 5
Forma matricial do sistema e identificação das matrizes [A,X,B) (parte (c), início).
O sistema foi escrito como
\begin{cases} b x + y = 1,\\[4pt] - b x + 2y = b^{2}, \end{cases}
Confirmação de que A^{-1} realmente é a inversa (parte (d)) — verificação por multiplicação.
Multiplico A pela matriz obtida e verifico que sai a identidade. Use A^{-1}=\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix}.
Calculo produto sem o fator escalar e depois aplico o fator:
A\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] b & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b\cdot 2 + 1\cdot b & b\cdot(-1)+1\cdot b\\[6pt] (-b)\cdot 2 + 2\cdot b & (-b)\cdot(-1) + 2\cdot b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3b & 0\\[6pt] 0 & 3b\end{pmatrix}=3b\,I_2.
Multiplicando por \dfrac{1}{3b} obtemos I_2. Logo A A^{-1}=I_2. Pelo mesmo raciocínio (ou porque a inversa é única) tem-se A^{-1}A=I_2. Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa (quando b\neq 0).]
Passo 10
Análise de existência de solução do sistema (parte (e)).
Se b\neq 0\), então \(\det(A)=3b\neq 0\) e \(A\) é inversível; existe e é única a solução \(X=A^{-1}B\).
- Se \(b=0\), então \(A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\). As equações tornam-se
\[\begin{cases} y = 1,\\[4pt] 2y = 0^{2}=0. \end{cases}
Isso é contraditório porque a primeira exige y=1\] e a segunda exige \(y=0. Portanto, para b=0 o sistema não tem solução (é incompatível).
Conclusão: o sistema não tem solução exatamente para b=0. Para todo b\neq 0 há solução única dada por X=A^{-1}B.]
Resposta
(a) A(B+C)=AB+AC.\n
(b) (AB)'=B'A'.\n
(c) A=\begin{pmatrix}b & 1\\[4pt]-b & 2\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]b^{2}\end{pmatrix}.\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{3b}\begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt] b & b\end{pmatrix} (para b\neq 0).\n
(d) A A^{-1}=A^{-1}A=I_{2}, confirmando que é a inversa (para b\neq 0).\n
(e) O sistema não tem solução para b=0.]