Questão 28. Analise as afirmações:
e
II - o número 72 tem 12 divisores positivos e seu MDC com 5 é 1.
III - um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.
Qual(is) é(são) correta(s)?
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas
II - o número 72 tem 12 divisores positivos e seu MDC com 5 é 1.
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas
Passo 1
O enunciado pede para analisar três afirmações (I, II, III) e indicar quais são corretas entre as opções dadas. As afirmações são:
I -
.
II - o número
tem
divisores positivos e seu MDC com
é
.
III - um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.
Lista das informações relevantes dadas no enunciado:
- Afirmativa I envolve raízes e potências de
. - Afirmativa II fala sobre contagem de divisores positivos de
e o máximo divisor comum (MDC) entre e . - Afirmativa III questiona a existência de inteiros que sejam simultaneamente quadrado perfeito e cubo perfeito.
Passo 2
Vamos analisar a afirmativa I com cuidado. Primeiro, lembro as regras de potências e raízes (explicando passo a passo):
- Uma raiz enésima pode ser escrita como potência fracionária:
. Por exemplo, e . - Ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes:
. - Ao multiplicar um número por uma potência da mesma base, pode-se somar expoentes (se a multiplicação for entre potências); porém atenção: se houver um termo isolado
antes, o sinal altera a comparação.
Agora aplico essas regras à expressão da I:
Transformo as raízes em potências:
Multiplico as potências:
Calculo a soma dos expoentes com denominador comum
:
logo
Então o lado esquerdo da afirmação I é
Agora o lado direito:
Portanto a igualdade proposta em I seria
Somando
em ambos os lados dá
. Mas
(pois qualquer potência positiva de
com expoente maior que
é maior que
), então
e não pode ser igual a
. Outro argumento direto: o lado esquerdo
é negativo (subtrai algo maior que
), enquanto o lado direito
é positivo, logo impossível. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Passo 3
Analisando a primeira parte da afirmativa II: “o número
tem
divisores positivos.”
Explico como contar divisores usando fatoração em primos:
- Faça a fatoração em primos de
. Sabendo que , temos
- Se um inteiro
tem fatoração , o número de divisores positivos de é
Isto acontece porque, para cada primo
, um divisor pode ter potência
daquele primo; o número de escolhas independentes multiplica.
Aplicando a regra a
:
Portanto a primeira parte da II é verdadeira.
Passo 4
Agora a segunda parte da afirmativa II: “seu MDC com
é
.”
Definição e procedimento prático:
- O máximo divisor comum (MDC, ou GCD) de dois números é o produto dos primos comuns elevados ao menor expoente que aparecem nas fatorações.
- Fatoração de
já vimos: . - Fatoração de
(primo): .
Os primos presentes em
são
e
; o primo
não aparece. Como não há fatores primos comuns, o MDC é
.
Portanto a segunda parte da II também é verdadeira. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira (ambas as declarações dentro dela são corretas).
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.”
Explico o que significam esses termos:
- Um inteiro
é quadrado perfeito se existir inteiro tal que . - Um inteiro
é cubo perfeito se existir inteiro tal que .
Queremos saber se existe
tal que
. Uma forma elegante de ver quando isso ocorre é considerar expoentes na fatoração prima: se
, para ser quadrado perfeito todos os
devem ser múltiplos de
; para ser cubo perfeito todos os
devem ser múltiplos de
. Então os
devem ser múltiplos de
. Ou seja,
é simultaneamente quadrado e cubo perfeito exatamente quando é uma sexta potência:
para algum inteiro
.
Dando um exemplo concreto para provar existência, tomo
:
Verifico:
Assim existe sim um inteiro que é simultaneamente quadrado perfeito e cubo perfeito. Portanto III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Duas das afirmações são corretas (II e III), portanto a opção correta é a que indica “duas delas”.
Resposta
(d)