Questão 28. Analise as afirmações:
1-\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^{2}}=3 \sqrt[6]{3} e 3^{2^{3}}=\left(3^{2}\right)^{4}
II - o número 72 tem 12 divisores positivos e seu MDC com 5 é 1.
III - um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.
Qual(is) é(são) correta(s)?
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas

Passo 1

O enunciado pede para analisar três afirmações (I, II, III) e indicar quais são corretas entre as opções dadas. As afirmações são:
I - 1-\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}=3\sqrt[6]{3}.
II - o número 72 tem 12 divisores positivos e seu MDC com 5 é 1.
III - um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.
Lista das informações relevantes dadas no enunciado:
  • Afirmativa I envolve raízes e potências de 3.
  • Afirmativa II fala sobre contagem de divisores positivos de 72 e o máximo divisor comum (MDC) entre 72 e 5.
  • Afirmativa III questiona a existência de inteiros que sejam simultaneamente quadrado perfeito e cubo perfeito.

Passo 2

Vamos analisar a afirmativa I com cuidado. Primeiro, lembro as regras de potências e raízes (explicando passo a passo):
  • Uma raiz enésima pode ser escrita como potência fracionária: \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. Por exemplo, \sqrt{3}=3^{1/2} e \sqrt[3]{3^{2}}=(3^{2})^{1/3}=3^{2/3}.
  • Ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes: a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
  • Ao multiplicar um número por uma potência da mesma base, pode-se somar expoentes (se a multiplicação for entre potências); porém atenção: se houver um termo isolado 1- antes, o sinal altera a comparação.
Agora aplico essas regras à expressão da I:
Transformo as raízes em potências:
\sqrt{3}=3^{1/2},\qquad \sqrt[3]{3^{2}}=3^{2/3}.
Multiplico as potências:
\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}=3^{1/2}\cdot 3^{2/3}=3^{\,1/2+2/3}.
Calculo a soma dos expoentes com denominador comum 6:
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6},
logo
\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}=3^{7/6}.
Então o lado esquerdo da afirmação I é
1-\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}=1-3^{7/6}.
Agora o lado direito:
3\sqrt[6]{3}=3\cdot 3^{1/6}=3^{1+1/6}=3^{7/6}.
Portanto a igualdade proposta em I seria
1-3^{7/6}=3^{7/6}.
Somando 3^{7/6} em ambos os lados dá 1=2\cdot 3^{7/6}. Mas \,3^{7/6}>1 (pois qualquer potência positiva de 3 com expoente maior que 0 é maior que 1), então 2\cdot 3^{7/6}>2 e não pode ser igual a 1. Outro argumento direto: o lado esquerdo 1-3^{7/6} é negativo (subtrai algo maior que 1), enquanto o lado direito 3^{7/6} é positivo, logo impossível. Conclusão: a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Analisando a primeira parte da afirmativa II: “o número 72 tem 12 divisores positivos.”
Explico como contar divisores usando fatoração em primos:
  • Faça a fatoração em primos de 72. Sabendo que 72=8\cdot9, temos
72=2^{3}\cdot 3^{2}.
  • Se um inteiro n tem fatoração n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}, o número de divisores positivos de n é
(a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots (a_{k}+1).
Isto acontece porque, para cada primo p_{i}, um divisor pode ter potência 0,1,\dots,a_{i} daquele primo; o número de escolhas independentes multiplica.
Aplicando a regra a 72=2^{3}\cdot 3^{2}:
\text{nº de divisores}=(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12.º
Portanto a primeira parte da II é verdadeira.

Passo 4

Agora a segunda parte da afirmativa II: “seu MDC com 5 é 1.”
Definição e procedimento prático:
  • O máximo divisor comum (MDC, ou GCD) de dois números é o produto dos primos comuns elevados ao menor expoente que aparecem nas fatorações.
  • Fatoração de 72 já vimos: 72=2^{3}\cdot 3^{2}.
  • Fatoração de 5 (primo): 5=5^{1}.
Os primos presentes em 72 são 2 e 3; o primo 5 não aparece. Como não há fatores primos comuns, o MDC é 1.
Portanto a segunda parte da II também é verdadeira. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira (ambas as declarações dentro dela são corretas).

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “um número inteiro pode ser um quadrado perfeito e um cubo perfeito ao mesmo tempo.”
Explico o que significam esses termos:
  • Um inteiro N é quadrado perfeito se existir inteiro a tal que N=a^{2}.
  • Um inteiro N é cubo perfeito se existir inteiro b tal que N=b^{3}.
Queremos saber se existe N\in\mathbb{Z} tal que N=a^{2}=b^{3}. Uma forma elegante de ver quando isso ocorre é considerar expoentes na fatoração prima: se N=\prod p_{i}^{e_{i}}, para ser quadrado perfeito todos os e_{i} devem ser múltiplos de 2; para ser cubo perfeito todos os e_{i} devem ser múltiplos de 3. Então os e_{i} devem ser múltiplos de \operatorname{lcm}(2,3)=6. Ou seja, N é simultaneamente quadrado e cubo perfeito exatamente quando é uma sexta potência: N=c^{6} para algum inteiro c.
Dando um exemplo concreto para provar existência, tomo c=2:
N=2^{6}=64.
Verifico:
64=8^{2}\quad(\text{quadrado perfeito}),\qquad 64=4^{3}\quad(\text{cubo perfeito}).
Assim existe sim um inteiro que é simultaneamente quadrado perfeito e cubo perfeito. Portanto III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Duas das afirmações são corretas (II e III), portanto a opção correta é a que indica “duas delas”.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados