Questão
04. O valor da expressão 10^{\frac{n}{2}}\left(10^{m-1}+10^{m+1}\right):\left[10^{m}\left(10^{\frac{n}{2}}+10^{\frac{n}{2}+2}\right)\right] é:
a) 10
b) 1
c) 10^{-1}
d) 10^{m-\frac{n}{2}-2}
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
10^{\frac{n}{2}}\left(10^{m-1}+10^{m+1}\right):\left[10^{m}\left(10^{\frac{n}{2}}+10^{\frac{n}{2}+2}\right)\right]
e oferece as alternativas: a) 10, b) 1, c) 10^{-1}, d) 10^{m-\frac{n}{2}-2}, e) n.d.a.
Informações dadas e observações importantes:
  • Os símbolos m e n são expoentes (não precisamos de valores numéricos específicos).
  • O símbolo : significa divisão (ou seja, numerador dividido por denominador).
  • Temos soma de potências de base 10 tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 2

Revisão das regras de potências que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Regra 1: a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}. Aqui a é a base (no nosso caso a=10), e x,y são expoentes. Isso diz como somar expoentes quando multiplicamos potências de mesma base.
  • Regra 2: \dfrac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}. Isso diz que, ao dividir potências da mesma base, subtraímos os expoentes.
  • Técnica de fatoração: quando temos a^{p}+a^{q} com p\le q, podemos fatorar a^{p} como a^{p}\big(1+a^{q-p}\big). Aqui a^{p} é o fator comum e a^{q-p} é a potência remanescente.
    Vou aplicar essas regras com a=10.

Passo 3

Simplificar o numerador passo a passo. Numerador é
10^{\frac{n}{2}}\big(10^{m-1}+10^{m+1}\big).
Dentro dos parênteses podemos fatorar 10^{m-1} (pois m-1 é o menor expoente entre m-1 e m+1):
10^{m-1}+10^{m+1}=10^{m-1}\big(1+10^{(m+1)-(m-1)}\big).
Calcule o expoente da diferença:
(m+1)-(m-1)=2,
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10^{m-1}+10^{m+1}=10^{m-1}\big(1+10^{2}\big).
Como 10^{2}=100, temos 1+10^{2}=1+100=101. Portanto o numerador fica
10^{\frac{n}{2}}\cdot 10^{m-1}\cdot 101.
Usando a Regra 1 ( 10^{\frac{n}{2}}\cdot 10^{m-1}=10^{\frac{n}{2}+m-1}), obtemos
\text{Numerador}=10^{\frac{n}{2}+m-1}\cdot 101.

Passo 4

Simplificar o denominador passo a passo. Denominador é
10^{m}\big(10^{\frac{n}{2}}+10^{\frac{n}{2}+2}\big).
Dentro dos colchetes podemos fatorar 10^{\frac{n}{2}} (menor expoente entre \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+2):
10^{\frac{n}{2}}+10^{\frac{n}{2}+2}=10^{\frac{n}{2}}\big(1+10^{(\frac{n}{2}+2)-\frac{n}{2}}\big).
Calcule o expoente da diferença:
\left(\frac{n}{2}+2\right)-\frac{n}{2}=2,
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10^{\frac{n}{2}}+10^{\frac{n}{2}+2}=10^{\frac{n}{2}}\big(1+10^{2}\big)=10^{\frac{n}{2}}\cdot 101.
Multiplicando pelo 10^{m} externo:
\text{Denominador}=10^{m}\cdot 10^{\frac{n}{2}}\cdot 101.
Usando a Regra 1, 10^{m}\cdot 10^{\frac{n}{2}}=10^{m+\frac{n}{2}}. Assim
\text{Denominador}=10^{m+\frac{n}{2}}\cdot 101.

Passo 5

Agora escrevemos a divisão numerador/denominador com as formas simplificadas:
\frac{10^{\frac{n}{2}+m-1}\cdot 101}{10^{m+\frac{n}{2}}\cdot 101}.
Podemos cancelar o fator comum 101 no numerador e no denominador (já que é multiplicativo e diferente de zero), ficando
\frac{10^{\frac{n}{2}+m-1}}{10^{m+\frac{n}{2}}}.
Agora aplicamos a Regra 2 (subtrair expoentes):
10^{\left(\frac{n}{2}+m-1\right)-\left(m+\frac{n}{2}\right)}.
Calcule a diferença dos expoentes:
\left(\frac{n}{2}+m-1\right)-\left(m+\frac{n}{2}\right)=\frac{n}{2}+m-1-m-\frac{n}{2}=-1.
Portanto a expressão vale
10^{-1}.

Passo 6

Interpretação final e comparação com as alternativas: 10^{-1} corresponde à alternativa c). Um comentário prático: 10^{-1}=0,1, então o resultado é um décimo.

Resposta

c) 10^{-1}

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