QUESTÃO 01 : Considerando x \in \mathbb{R}, calcule:
\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}}}=

Passo 1

O enunciado pede calcular a seguinte fração contínua (vou reescrever a expressão para ficar claro o que há dentro): \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}}.
O que precisamos encontrar é o valor numérico dessa expressão para x\in\mathbb{R} (a expressão não depende de x explicitamente, então é só avaliar a fração). Vamos trabalhar de dentro para fora, avaliando primeiro a parte mais interna 1-\tfrac{1}{2}, depois as frações recíprocas e somas.

Passo 2

Calcular a parte mais interna \,1-\dfrac{1}{2}\,.
Explicação curta: para subtrair \dfrac{1}{2} de 1 escrevemos 1 como \dfrac{2}{2} (mesmo denominador) e subtraímos numeradores.
1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora avaliamos a fração recíproca que envolve essa diferença: \displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}.
Regra usada: dividir por uma fração \dfrac{a}{b} equivale a multiplicar pelo recíproco \dfrac{b}{a}. Aqui temos 1\div\frac{1}{2}=1\cdot\frac{2}{1}.
\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 4

Agora substituímos o resultado e calculamos 1+\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}.
Temos do passo anterior que \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2. Então
1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1+2=3.

Passo 5

Seguimos para a próxima fração recíproca: \displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}.
Usando o resultado do passo 4, isso é simplesmente 1\div 3:
\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Agora somamos 1 à fração obtida no passo anterior, ou seja calculamos 1+\dfrac{1}{3}.
Explicação: para somar 1 com uma fração, escrevemos 1 como \dfrac{3}{3} (mesmo denominador) e somamos numeradores:
1+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Finalmente, avaliamos a recíproca da soma do passo 6, que é a expressão original: \displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}}.
Usando o resultado do passo 6, temos 1\div \tfrac{4}{3}=1\cdot \tfrac{3}{4}. Logo,
\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{\tfrac{4}{3}}=\frac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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