QUESTÃO 04

Nas afirmações abaixo, os números a, b e n são inteiros positivos. Analise-as, atribuindo (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.
( ) Se ( a-b ) é múltiplo de n, então a e b são múltiplos de n.
( ) Se (a.b) é múltiplo de n, então a ou b é múltiplo de n.
( ) Se d=m d c(a, b) e m=m m c(a, b), então m é múltiplo de d.
( ) Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n, então a-b é múltiplo de n.
A sequência correta encontrada é
a) V, V, F, V.
b) V, F, F, V.
c) V, F, V, V.
d) V, F, F, F.
e) F, V, F, V.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre inteiros positivos a,b,n e pede para classificá-las como verdadeiras (V) ou falsas (F). O conteúdo principal é teoria de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc).

Passo 2

Analisemos a afirmação 1:
“Se (a-b) é múltiplo de n, então a e b são múltiplos de n.”
Isso significaria que, sempre que n\mid(a-b), teríamos n\mid a e n\mid b.
Contra-exemplo: a=5, b=2, n=3.
Então a-b=3 é múltiplo de 3, mas nem 5 nem 2 são múltiplos de 3.
Logo, a afirmação 1 é falsa (F).

Passo 3

Analisemos a afirmação 2:
“Se a\cdot b é múltiplo de n, então a ou b é múltiplo de n.”
Isso só vale em geral quando n é primo. Para n composto falha:
exemplo a=2, b=3, n=6. Então ab=6 é múltiplo de 6, mas nem 2 nem 3 são múltiplos de 6.
Logo, a afirmação 2 é falsa (F).

Passo 4

Analisemos a afirmação 3:
“Se d=\gcd(a,b) e m=\mathrm{lcm}(a,b), então m é múltiplo de d.”
Sabemos que \gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b)=a\,b.
Escrevendo a=d\,a', b=d\,b' com \gcd(a',b')=1, segue
m=\frac{a\,b}{d} =\frac{d a'\,d b'}{d} =d\,a'\,b'\,.
Como a'\,b' é inteiro, m=d\cdot(a'b'), logo d\mid m.
Portanto, a afirmação 3 é verdadeira (V).
Analisemos a afirmação 4:
“Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n, então a-b é múltiplo de n.”
Se a=nq_1+r e b=nq_2+r, então
a-b = n(q_1-q_2),
ou seja, n\mid(a-b).
Logo, a afirmação 4 é verdadeira (V).

Passo 5

Reunindo:
  1. F
  2. F
  3. V
  4. V
Ou seja, a sequência correta é (F, F, V, V), que não aparece entre as alternativas dadas.

Resposta

A sequência correta é F, F, V e V (nenhuma das opções fornecidas).

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