Questão 01. (2,0) Considere a matriz identidade I3 e a matriz A dada por
A=(ccc 1 & 0 & 1 1 & -1 & 2 1 & 1 & 1 )
Determine a matriz X in M3(R) tal que A cdot X=I3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz Xin M3(R) tal que
Acdot X = I3,
ou seja, precisamos calcular X = A^-1. Para isso, vamos usar o método que consiste em (1) calcular det(A), (2) obter a matriz de cofatores, (3) formar a adjunta (transposta da de cofatores) e (4) dividir pela determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de
A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 2 1 & 1 & 1
Expandindo pela primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-1 & 21 & 1 -0cdot(cdots) +1cdotdet1 & -11 & 1
Calculando os dois menores:
det-1 & 21 & 1 =(-1)cdot1-2cdot1=-3, det1 & -11 & 1 =1cdot1-(-1)cdot1=2
Logo
det(A) = 1cdot(-3) + 1cdot2 = -1

Passo 3

Agora calculamos a matriz de cofatores C = l(Cijr), onde
Cij = (-1)^i+jdetl(A com linha i e coluna j suprimidasr)
O resultado é
C = -3 & 1 & 2 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1

Passo 4

A adjunta de A é adj(A)=C^T, portanto
adj(A) = -3 & 1 & 1 1 & 0 & -1 2 & -1 & -1
Como det(A)=-1, a inversa é
A^-1 =1det(A),adj(A) =1-1 -3 & 1 & 1 1 & 0 & -1 2 & -1 & -1 = 3 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 1 & 1

Resposta

X = A^-1 = 3 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 1 & 1

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