Questão 18: Calcule a matriz inversa de: (ccc1 & 2 & 1 1 & -2 & 1 1 & 3 & 2)
a. Utilizando a definição.
b. Utilizando escalonamento.

Passo 1

Temos a matriz
A = 1 & 2 & 1 1 & -2 & 1 1 & 3 & 2
e queremos A^-1 por duas vias:
a. pela definição A^-1=1det A,adj(A), o que requer calcular det A, cofatores e matriz adjunta;
b. por escalonamento Gauss–Jordan, montando [Amid I] e reduzindo até [Imid A^-1].

Passo 2

Aplicando a definição, primeiro calculamos o determinante de A. Usando desenvolvimento pela primeira linha,
det A =1cdotdet!-2&13&2 -2cdotdet!1&11&2 +1cdotdet!1&-21&3
=1l((-2)cdot2-1cdot3r)-2l(1cdot2-1cdot1r)+1l(1cdot3-(-2)cdot1r) =-7-2+5=-4
Como det A=-4neq0, a inversa existe.

Passo 3

Ainda pela definição, montamos a matriz de cofatores C e depois a adjunta adj(A)=C^T. Calculando cada cofator Cij=(-1)^i+jMij obtemos
C= -7&-1&5 -1&1&-1 4&0&-4 , adj(A)=C^T= -7&-1&4 -1&1&0 5&-1&-4
Logo
A^-1 =1det A,adj(A) =-14 -7&-1&4 -1&1&0 5&-1&-4 = 74&14&-1 14&-14&0 -54&14&1

Passo 4

Agora por escalonamento, montamos a matriz aumentada
[Amid I] = 1&2&1&mid&1&0&0 1&-2&1&mid&0&1&0 1&3&2&mid&0&0&1
Subtraímos a primeira linha das outras duas:
R2 R2-R1, R3 R3-R1
fica
1&2&1&mid&1&0&0 0&-4&0&mid&-1&1&0 0&1&1&mid&-1&0&1
Em seguida, pivoteamos em R2:
R2 -tfrac14,R2
obtendo
1&2&1&mid&1&0&0 0&1&0&mid&tfrac14&-tfrac14&0 0&1&1&mid&-1&0&1 ,
depois
R3 R3-R2, R1 R1-2,R2
para zerar termos acima e abaixo do pivô da coluna 2:
1&0&1&mid&tfrac12&tfrac12&0 0&1&0&mid&tfrac14&-tfrac14&0 0&0&1&mid&-tfrac54&tfrac14&1

Passo 5

Só falta zerar o 1 em posição (1,3):
R1 R1-R3
que dá
1&0&0&mid&tfrac74&tfrac14&-1 0&1&0&mid&tfrac14&-tfrac14&0 0&0&1&mid&-tfrac54&tfrac14&1
Da parte direita lemos A^-1, que coincide com o resultado da definição.

Resposta

a.
A^-1= 74 & 14 & -1 14 & -14 & 0 -54 & 14 & 1
b. Pelo mesmo resultado,
A^-1= 74 & 14 & -1 14 & -14 & 0 -54 & 14 & 1

Exercícios relacionados