Questão 17: Seja o conjunto de todas as matrizes de ordem 3 tais que .
a. Prove que é um subespaço vetorial de .
b. Exiba uma base para .
Passo 1
O enunciado define
e pede:
– (a) mostrar que é subespaço vetorial de , isto é, verificar se contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalar;
– (b) exibir uma base de , ou seja, encontrar matrizes independentes que gerem todo elemento de .
Passo 2
Mostramos que contém a matriz zero e é fechado sob operações do espaço vetorial: . A matriz zero satisfaz , logo . . Se , então
logo . . Para e ,
logo .
Portanto, é subespaço vetorial de .
Passo 3
Em toda matriz temos , o que obriga os elementos da diagonal principal a serem zero e impõe
Dessa forma, A é determinado pelos três parâmetros a12,a13,a23inR.
Passo 4
Para escrever A como combinação linear, defina as matrizes