Questão 17: Seja S o conjunto de todas as matrizes de ordem 3 tais que A^T=-A.
a. Prove que S é um subespaço vetorial de M3 times 3(R).
b. Exiba uma base para S.

Passo 1

O enunciado define
S = Ain M3times3(R) mid A^T = -A
e pede:
– (a) mostrar que S é subespaço vetorial de M3times3(R), isto é, verificar se contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalar;
– (b) exibir uma base de S, ou seja, encontrar matrizes independentes que gerem todo elemento de S.

Passo 2

Mostramos que S contém a matriz zero e é fechado sob operações do espaço vetorial:
1. A matriz zero O satisfaz O^T=O=-O, logo Oin S.
2. Se A,Bin S, então
(A+B)^T = A^T+B^T = (-A)+(-B) = -(A+B),
logo A+Bin S.
3. Para lambdainR e Ain S,
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda(-A) = -(lambda A),
logo lambda Ain S.
Portanto, S é subespaço vetorial de M3times3(R).

Passo 3

Em toda matriz Ain S temos A^T=-A, o que obriga os elementos da diagonal principal a serem zero e impõe
A = 0 & a12 & a13 -a12 & 0 & a23 -a13 & -a23 & 0
Dessa forma, A é determinado pelos três parâmetros a12,a13,a23inR.

Passo 4

Para escrever A como combinação linear, defina as matrizes
E12 = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E13 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 , E23 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0
Qualquer Ain S escreve-se
A = a12,E12 + a13,E13 + a23,E23
As matrizes E12,E13,E23 são independentes e geram S, logo formam uma base.

Resposta

(a) S é subespaço vetorial de M3times3(R).
(b) Uma base de S é dada por
E12 = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E13 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 , E23 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0

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