Questão 03. A função y=f(x) é derivável e a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 2, f(2) ) tem equação 2 x-5 y+1=0. A reta tangente ao gráfico da função g(x)=5 x f\left(2 x^{2}\right), no ponto (1, g(1)) tem equação
(A) y=5 x
(B) y=13 x-8
(C) y=10 x-5
(D) y=6 x-1
(E) y=x+4

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2)) tem equação
2x - 5y + 1 = 0.
Queremos a reta tangente ao gráfico de
g(x) = 5x\,f\bigl(2x^2\bigr)
no ponto (1,g(1)). Para isso vamos precisar de f(2), de f'(2), de g(1) e de g'(1), usando as regras da derivação (produto e cadeia).

Passo 2

Da equação
2x - 5y + 1 = 0
isolamos y:
y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}.
Como essa é a reta tangente em x=2, temos
f(2) = y\bigl|_{x=2\} = \frac{2}{5}\cdot 2 + \frac{1}{5} = 1,
e a inclinação da tangente é
f'(2) = \frac{2}{5}.

Passo 3

Definindo
g(x) = 5x\,f\bigl(2x^2\bigr),
temos
g(1) = 5\cdot 1 \cdot f\bigl(2\cdot 1^2\bigr) = 5\,f(2) = 5\cdot 1 = 5.
Para g'(x), use produto e cadeia:
g'(x) = 5\bigl[\;1\cdot f(2x^2) \;+\; x\cdot f'(2x^2)\cdot (4x)\bigr] = 5\bigl[f(2x^2) +4x^2\,f'(2x^2)\bigr].
Logo,
g'(1) = 5\bigl[f(2) +4\cdot 1^2\,f'(2)\bigr] = 5\bigl[1 +4\cdot\tfrac{2}{5}\bigr] =5\cdot \frac{13}{5} =13.

Passo 4

A reta tangente a g em x=1 satisfaz
y - g(1) = g'(1)\,(x-1),
isto é
y - 5 = 13\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y = 13x -13 + 5 = 13x - 8.

Resposta

(B) y = 13x - 8

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