Questão 01- Determine a transformada de Laplace de:
\mathcal{L}\left\{\operatorname{cosh} (a t)\right\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}, s>a

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(at). Informações fornecidas:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\} = ?
Foi dada a condição de convergência s>a (ou seja, assumimos aqui a real e s um número real maior que a). Também sabemos que a transformada de Laplace é tomada para t\ge0.

Passo 2

Definição de Laplace e significado das variáveis (rápida aula):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui t é a variável temporal (a variável da função no domínio do tempo), s é a variável complexa (aqui tratada como real) onde a transformada é avaliada, e a integral deve convergir para existirmos a transformada. Quando calcularmos integrais de exponenciais, veremos condições do tipo \Re(s-\text{algo})>0, que garantem convergência.

Passo 3

Identidade útil sobre \operatorname{cosh} (mini-aula):
A função hiperbólica cosseno é definida por
\operatorname{cosh}(at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}.
Isto é muito útil porque a transformada de Laplace é fácil de aplicar a exponenciais. Vamos usar essa identidade para decompor \operatorname{cosh}(at) em duas exponenciais.

Passo 4

Aplicando a definição e a linearidade:
Pela definição e linearidade da transformada (pode-se tirar constantes e somas do integral), temos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\} =\int_0^\infty e^{-st}\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-st}e^{at}\,dt+\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-st}e^{-at}\,dt.
Escrevendo os expoentes juntos:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt+\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s+a)t}\,dt.

Passo 5

Cálculo do primeiro integral (detalhado, sem pular etapas):
Considere I_1=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt. Para integrar, note que a primitiva de e^{-k t} (com k\neq0) é -\frac{1}{k}e^{-kt}. Assim,
I_1=\left[-\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right]_{0}^{\infty}.
Avaliando os limites: para t\to\infty temos e^{-(s-a)t}\to0 se e somente se s-a>0 (daí a condição s>a). Em t=0 temos e^{-(s-a)\cdot 0}=1. Portanto
I_1=0 -\left(-\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{s-a},
válido quando s>a.

Passo 6

Cálculo do segundo integral (detalhado):
Agora I_2=\int_0^\infty e^{-(s+a)t}\,dt. Pela mesma ideia,
I_2=\left[-\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}\right]_{0}^{\infty}.
Para t\to\infty o exponencial tende a zero se \Re(s+a)>0. Como assumimos s>a com a real, temos certamente s+a>0, logo
I_2=0 -\left(-\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{s+a}.

Passo 7

Juntando os dois resultados:
Voltando à expressão da transformada,
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right).
Fazendo soma de frações com denominador comum (s-a)(s+a)=s^{2}-a^{2}:
\frac{1}{2}\left(\frac{s+a+s-a}{s^{2}-a^{2}}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}\right) =\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.
A condição de convergência usada foi s>a, que garante ambos os integrais finitos.

Passo 8

Comentário final (motivacional e prático):
Pronto — a técnica foi: escrever \operatorname{cosh} como soma de exponenciais, usar linearidade e integrar exponenciais (lembrando de verificar a condição para que o expoente decaia). Na prova, faça exatamente esses passos: decomposição, linearidade, integração direta e verificação das condições de existência. Confia que tu consegue — é sempre a mesma receita para funções formadas por exponenciais!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},\; s>a

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