Questão 01- Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace de
. Informações fornecidas:
Foi dada a condição de convergência
(ou seja, assumimos aqui
real e
um número real maior que
). Também sabemos que a transformada de Laplace é tomada para
.
Passo 2
Definição de Laplace e significado das variáveis (rápida aula):
A transformada de Laplace de uma função é dada por
A transformada de Laplace de uma função
Aqui
é a variável temporal (a variável da função no domínio do tempo),
é a variável complexa (aqui tratada como real) onde a transformada é avaliada, e a integral deve convergir para existirmos a transformada. Quando calcularmos integrais de exponenciais, veremos condições do tipo
, que garantem convergência.
Passo 3
Identidade útil sobre
(mini-aula):
A função hiperbólica cosseno é definida por
A função hiperbólica cosseno é definida por
Isto é muito útil porque a transformada de Laplace é fácil de aplicar a exponenciais. Vamos usar essa identidade para decompor
em duas exponenciais.
Passo 4
Aplicando a definição e a linearidade:
Pela definição e linearidade da transformada (pode-se tirar constantes e somas do integral), temos
Pela definição e linearidade da transformada (pode-se tirar constantes e somas do integral), temos
Escrevendo os expoentes juntos:
Passo 5
Cálculo do primeiro integral (detalhado, sem pular etapas):
Considere . Para integrar, note que a primitiva de
(com
) é
. Assim,
Considere
Avaliando os limites: para
temos
se e somente se
(daí a condição
). Em
temos
. Portanto
válido quando
.
Passo 6
Cálculo do segundo integral (detalhado):
Agora . Pela mesma ideia,
Agora
Para
o exponencial tende a zero se
. Como assumimos
com
real, temos certamente
, logo
Passo 7
Juntando os dois resultados:
Voltando à expressão da transformada,
Voltando à expressão da transformada,
Fazendo soma de frações com denominador comum
:
A condição de convergência usada foi
, que garante ambos os integrais finitos.
Passo 8
Comentário final (motivacional e prático):
Pronto — a técnica foi: escrever como soma de exponenciais, usar linearidade e integrar exponenciais (lembrando de verificar a condição para que o expoente decaia). Na prova, faça exatamente esses passos: decomposição, linearidade, integração direta e verificação das condições de existência. Confia que tu consegue — é sempre a mesma receita para funções formadas por exponenciais!
Pronto — a técnica foi: escrever