QUESTÃO 03- Calcule
\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sen}(t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,t^{2}\sin(t)\,. As informações que temos são:
  • A função cuja transformada queremos é \,f(t)=t^{2}\sin(t)\,, presumivelmente para t\ge 0.
  • Devemos encontrar \mathcal{L}\{\;t^{2}\sin(t)\;\}(s) em termos de s (e indicar a região de convergência se for relevante).

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e uma propriedade chave que vamos usar.
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s apropriados (normalmente \operatorname{Re}(s) grande o suficiente).
Propriedade importante (que vou demonstrar): para uma função f adequada (de ordem exponencial), vale
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f\}(s)\big).
Explicando por que: diferenciando F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt sob o sinal de integral,
\frac{d}{ds}F(s) = \int_0^\infty \frac{d}{ds}\big(e^{-st}\big) f(t)\,dt = \int_0^\infty (-t)e^{-st} f(t)\,dt = -\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Portanto \mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s).
Aplicando isso duas vezes obtemos a regra para potências inteiras:
\mathcal{L}\{t^{n} f(t)\}(s) = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\big(\mathcal{L}\{f\}(s)\big).
Para o nosso caso n=2 teremos
\mathcal{L}\{t^{2} f(t)\}(s) = \frac{d^{2}}{ds^{2}}\big(\mathcal{L}\{f\}(s)\big),
pois (-1)^{2}=1.

Passo 3

Agora vamos usar a propriedade com f(t)=\sin(t). Primeiro preciso da transformada de Laplace de \sin(t).
Recordando a transformada padrão:
\mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(t)\,dt = \frac{1}{s^{2}+1},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. (Se quiser, isso pode ser obtido por integração por partes ou por transformada de sinais com exponenciais complexas; aqui uso o resultado padrão.)
Denotando F(s)=\mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}.

Passo 4

Pelo resultado do Passo 2, como queremos \mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s), aplicamos a segunda derivada em s a F(s):
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s) = \frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Agora vamos calcular essa derivada passo a passo, sem pular etapas.

Passo 5

Primeira derivada: calculemos
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Usamos a regra da cadeia para (s^{2}+1)^{-1}:
\frac{d}{ds}\left((s^{2}+1)^{-1}\right) = -1\cdot (s^{2}+1)^{-2}\cdot \frac{d}{ds}(s^{2}+1).
Como \dfrac{d}{ds}(s^{2}+1)=2s, obtemos
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right) = -2s\,(s^{2}+1)^{-2} = -\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Segunda derivada: derivamos a expressão do Passo 5,
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right) = \frac{d}{ds}\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right).
Vamos aplicar a regra do produto (ou da quociente). Escrevo -\dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} = u(s)\,v(s) com u(s)=-2s e v(s)=(s^{2}+1)^{-2}.
Calculemos as derivadas:
u'(s) = -2, \qquad v'(s) = -2 (s^{2}+1)^{-3}\cdot 2s = -4s\,(s^{2}+1)^{-3}.
Agora a regra do produto:
\frac{d}{ds}\big(u v\big) = u'v + u v'.
Substituindo:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right) = (-2)\,(s^{2}+1)^{-2} + (-2s)\big(-4s\,(s^{2}+1)^{-3}\big).
Simplificando o segundo termo:
(-2s)\big(-4s\,(s^{2}+1)^{-3}\big) = 8s^{2}\,(s^{2}+1)^{-3}.
Portanto
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right) = -2\,(s^{2}+1)^{-2} + 8s^{2}\,(s^{2}+1)^{-3}.

Passo 7

Vamos colocar em um denominador comum (s^{2}+1)^{3} para simplificar:
-2\,(s^{2}+1)^{-2} = -2\frac{s^{2}+1}{(s^{2}+1)^{3}} = \frac{-2s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}}.
Somando com o segundo termo,
\frac{-2s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}} + \frac{8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}} = \frac{(-2s^{2}-2)+8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}} = \frac{6s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}}.
Fatorando 2 no numerador:
\frac{6s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}} = \frac{2(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Passo 8

Concluímos, então, que
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s) = \frac{2\big(3s^{2}-1\big)}{(s^{2}+1)^{3}}.
Quanto à região de convergência: como \sin(t) é limitada e t^{2} é polinomial, a transformada converge para \operatorname{Re}(s)>0 (mesma região onde \mathcal{L}\{\sin t\} converge).

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\sin(t)\}(s)=\frac{2\big(3s^{2}-1\big)}{(s^{2}+1)^{3}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0

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