QUESTÃO 03- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
. As informações que temos são:
- A função cuja transformada queremos é
, presumivelmente para . - Devemos encontrar
em termos de (e indicar a região de convergência se for relevante).
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e uma propriedade chave que vamos usar.
Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
apropriados (normalmente
grande o suficiente).
Propriedade importante (que vou demonstrar): para uma função
adequada (de ordem exponencial), vale
Explicando por que: diferenciando
sob o sinal de integral,
Portanto
.
Aplicando isso duas vezes obtemos a regra para potências inteiras:
Para o nosso caso
teremos
pois
.
Passo 3
Agora vamos usar a propriedade com
. Primeiro preciso da transformada de Laplace de
.
Recordando a transformada padrão:
válida para
. (Se quiser, isso pode ser obtido por integração por partes ou por transformada de sinais com exponenciais complexas; aqui uso o resultado padrão.)
Denotando
.
Passo 4
Pelo resultado do Passo 2, como queremos
, aplicamos a segunda derivada em
a
:
Agora vamos calcular essa derivada passo a passo, sem pular etapas.
Passo 5
Primeira derivada: calculemos
Usamos a regra da cadeia para
:
Como
, obtemos
Passo 6
Segunda derivada: derivamos a expressão do Passo 5,
Vamos aplicar a regra do produto (ou da quociente). Escrevo
com
e
.
Calculemos as derivadas:
Agora a regra do produto:
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 7
Vamos colocar em um denominador comum
para simplificar:
Somando com o segundo termo,
Fatorando
no numerador:
Passo 8
Concluímos, então, que
Quanto à região de convergência: como
é limitada e
é polinomial, a transformada converge para
(mesma região onde
converge).