Questão 04 - Substituição trigonométrica
\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(a>0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\quad (a>0).
Informações dadas:
  • A constante a é positiva: a>0.
  • A expressão a integrar é \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função em termos de x, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Por que escolher uma substituição trigonométrica?
Quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} é clássico usar a substituição
x = a\sin\theta,
porque a identidade trigonométrica
1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta
transforma a raiz numa expressão simples em \cos\theta. Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • x é a variável original da integral.
  • a é uma constante positiva.
  • \theta será a nova variável após a substituição; teremos que escolher um intervalo para \theta onde as funções trigonométricas tenham sinal conhecido. Escolho \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] porque nesse intervalo \cos\theta\ge 0, então \sqrt{\cos^{2}\theta}=\cos\theta sem ambiguidade de sinal.

Passo 3

Faço a substituição x=a\sin\theta. Calculo dx e a raiz:
dx = a\cos\theta\,d\theta,
\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} =\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}\theta\right)} =\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}=a\cos\theta,
onde no último passo usei que a>0 e \cos\theta\ge 0 no intervalo escolhido. Agora substituo na integral original:
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} =\int \frac{a\cos\theta\,d\theta}{a\cos\theta}.

Passo 4

Simplifico a fração dentro da integral:
\int \frac{a\cos\theta\,d\theta}{a\cos\theta}=\int d\theta.
Essa integral é imediata:
\int d\theta = \theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volto para a variável x. Da substituição x=a\sin\theta temos
\sin\theta=\frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad \theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right),
usando a função inversa seno no ramo principal (compatível com \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]). Substituindo:
\theta + C = \arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Portanto a primitiva encontrada é \arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar): derivando \arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right) em relação a x,
\frac{d}{dx}\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}}}\cdot\frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}},
confirmando que a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que vir \sqrt{a^{2}-x^{2}} pense em x=a\sin\theta; para \sqrt{a^{2}+x^{2}} pense em x=a\tan\theta; e para \sqrt{x^{2}-a^{2}} pense em x=a\operatorname{sec}\theta. Escolha o intervalo de \theta para evitar ambiguidades de sinal na raiz. Vai dar certo — força aí, você consegue!

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C

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