Questão 04 - Substituição trigonométrica
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A constante
é positiva: . - A expressão a integrar é
.
O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função em termos de, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Por que escolher uma substituição trigonométrica?
Quando aparece é clássico usar a substituição
Quando aparece
porque a identidade trigonométrica
transforma a raiz numa expressão simples em
. Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é a variável original da integral. -
é uma constante positiva. -
será a nova variável após a substituição; teremos que escolher um intervalo para onde as funções trigonométricas tenham sinal conhecido. Escolho porque nesse intervalo , então sem ambiguidade de sinal.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo
e a raiz:
onde no último passo usei que
e
no intervalo escolhido. Agora substituo na integral original:
Passo 4
Simplifico a fração dentro da integral:
Essa integral é imediata:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volto para a variável
. Da substituição
temos
usando a função inversa seno no ramo principal (compatível com
). Substituindo:
Portanto a primitiva encontrada é
.
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar): derivando
em relação a
,
confirmando que a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que vir
pense em
; para
pense em
; e para
pense em
. Escolha o intervalo de
para evitar ambiguidades de sinal na raiz. Vai dar certo — força aí, você consegue!