Questão 01 — Integrais Definidas
\int_{1}^{e^{2}} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e^{2}} \ln(x)\,dx
Iremos usar o método de integração por partes, pois temos um produto implícito entre \ln(x) e 1. A fórmula básica é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x) \quad\text{e}\quad dv = dx.
Isso faz com que du = \frac{1}{x}\,dx e v = \int 1\,dx = x.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
Logo, uma primitiva é
F(x) = x\ln(x) - x.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de 1 a e^{2}:
\int_{1}^{e^{2}} \ln(x)\,dx = F(e^{2}) - F(1).
Calculamos cada termo:
F(e^{2}) = e^{2}\ln(e^{2}) - e^{2} = e^{2}\cdot 2 - e^{2} = 2e^{2} - e^{2} = e^{2},
F(1) = 1\cdot\ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1.
Portanto,
\int_{1}^{e^{2}} \ln(x)\,dx = e^{2} - (-1) = e^{2} + 1.

Resposta

e^{2} + 1

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