Questão 01 — Integrais Definidas
\int_{0}^{\ln 3} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\ln 3} e^{2x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integral de função exponencial e usaremos a primitiva de e^{ax} junto com o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para achar a primitiva de e^{2x}, lembramos que \frac{d}{dx}(e^{ax})=a\,e^{ax}.
Portanto,
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\ln 3} e^{2x}\,dx = \biggl[\frac{1}{2}e^{2x}\biggr]_{0}^{\ln 3}.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
em x=\ln 3: e^{2\ln 3}=(e^{\ln 3})^2=3^2=9;
em x=0: e^0=1.
Logo,
\biggl[\frac{1}{2}e^{2x}\biggr]_{0}^{\ln 3} = \frac{1}{2}(9 - 1) =4.

Resposta

4

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