Resolva as integrais:
\int \frac{4 x}{\sqrt{1-2 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4x}{\sqrt{1-2x^2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos uma função composta \sqrt{1-2x^2} e x\,dx no numerador.

Passo 2

Definimos
u = 1 - 2x^2,
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du = -4x\,dx
e, portanto,
4x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{4x}{\sqrt{1-2x^2}}\,dx = \int \frac{-\,du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\int u^{-\tfrac12}\,du = -\biggl(\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12}\biggr) + C = -2\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x:
-2\,u^{\tfrac12} + C = -2\sqrt{1-2x^2} + C.

Resposta

-2\sqrt{1-2x^2} + C

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