Questão 01. (3,0 pontos)Dadas as matrizes
A=\left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\\\ -1 & -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 4 & 3 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
(a) (1,5) calcule os valores de t \in \mathbb{R} tais que \operatorname{det}\left(A^{2}-2 B-t I\right)=0, onde I é a matriz identidade 2 \times 2.
(b) (1,5) Determine C=P^{-1} A P, onde
P=\left(\begin{array}{cc} 3-t & 0 \\\\ 2 & 2-t \end{array}\right)
com t sendo o menor dos valores encontrados no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B em \mathbb{R}^{2\times2} e pede, em (a), os valores de t tais que
\det\bigl(A^2 - 2B - tI\bigr)=0
onde I é a identidade 2\times2. Em (b), com o menor desses valores de t, devemos montar
P=\begin{pmatrix}3-t & 0\\\ 2 & 2-t\end{pmatrix}
e calcular C=P^{-1}AP. Vamos precisar de operações de multiplicação de matrizes, cálculo de determinante e inversão de matriz 2\times2.

Passo 2

Primeiro calculemos
A^2 = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}16-2 & 8-2\\\ -4+1 & -2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 6\\\ -3 & -1\end{pmatrix}
e
2B = 2\begin{pmatrix}4 & 3\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 6\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
Logo
A^2 - 2B = \begin{pmatrix}14-8 & 6-6\\\ -3-0 & -1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora formamos
A^2 - 2B - tI = \begin{pmatrix}6-t & 0\\\ -3 & 1-t\end{pmatrix}
e calculamos o determinante:
\det\bigl(A^2 - 2B - tI\bigr) = (6-t)(1-t) - 0\cdot(-3) = (6-t)(1-t).
Para que isso seja zero, temos
(6-t)(1-t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=6\quad\text{ou}\quad t=1.

Passo 4

Os valores de t que anulam o determinante são t=1 e t=6. O menor valor é t=1, que usaremos no item (b).

Passo 5

Para t=1 definimos
P = \begin{pmatrix}3-1 & 0\\\ 2 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de P é \det P = 2\cdot1 - 0\cdot2 = 2, e assim
P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ -2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Calculamos AP e depois C = P^{-1}(AP):
AP = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 & 2\\\ -4 & -1\end{pmatrix},
C = P^{-1}(AP) = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}12 & 2\\\ -4 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 1\\\ -16 & -3\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Os valores de t são
t=1\quad\text{e}\quad t=6.
(b) Para t=1 obtemos
C = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}6 & 1\\\ -16 & -3\end{pmatrix}.

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