As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(f) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 0 & x & 4 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 0 & x & 4\\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
e pede que o sistema correspondente tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, conforme o vetor \boldsymbol b. Para isso, a matriz deve ser singular, isto é,
\det(A)=0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) em função de x usando desenvolvimento por primeira linha:
\det(A) =3\det\!\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix} -2\det\!\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix} +1\det\!\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix} =3x-16, \quad \det\!\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix} =0-4=-4, \quad \det\!\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix} =0 - x = -x.

Passo 3

Substituindo na expressão de \det(A):
\det(A) =3(3x-16)-2(-4)+1(-x) =9x-48+8-x =8x-40.
Impondo \det(A)=0 resulta em
8x-40=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5.

Resposta

x=5

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