Questão 02. ( 3,5 pontos) (a) (2,0) Encontre um operador linear do \mathbb{R}^{3} cuja imagem seja o plano definido pela relação x+y+z=0. (b) (1,5) Exiba uma base para o núcleo do operador linear que você encontrou no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
\Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\},
ou seja, a imagem de T é o plano de equação x+y+z=0. Como esse plano é de dimensão 2, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
\dim(\Ker T)=3-\dim(\Im T)=1.
Precisamos então construir T com posto 2 e núcleo de dimensão 1.

Passo 2

Definimos
T(x,y,z)=(\,x-y,\;y-z,\;z-x\,).
É claro que T é linear, pois cada coordenada é combinação linear das variáveis x,y,z.

Passo 3

Mostramos que \Im(T)\subseteq\{x+y+z=0\}. De fato, para (x,y,z) genérico,
(x-y)+(y-z)+(z-x)=0,
logo T(x,y,z) sempre satisfaz u+v+w=0. Portanto a imagem de T está contida no plano desejado.

Passo 4

Para ver que \Im(T) é exatamente esse plano (e não apenas um subespaço próprio), exibimos dois vetores independentes no plano que estão em \Im(T). Por exemplo,
T(1,0,0)=(1,0,-1), \quad T(0,1,0)=(-1,1,0).
Esses dois vetores pertencem ao plano x+y+z=0 e são linearmente independentes, mostrando que \rank T=2. Assim \Im(T) é o plano todo.

Passo 5

Encontramos \Ker T\) resolvendo \[T(x,y,z)=(0,0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x-y=0,\\\ y-z=0, \end{cases}
que implica (x=y=z]. Logo
\Ker T=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\Span\{(1,1,1)\}.

Resposta

(a) Uma boa escolha é
T(x,y,z)=(x-y,\;y-z,\;z-x).
(b) Uma base de \Ker T é
\{(1,1,1)\}.

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