Questão 02. ( 3,5 pontos) (a)
Encontre um operador linear do
cuja imagem seja o plano definido pela relação
. (b)
Exiba uma base para o núcleo do operador linear que você encontrou no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
tal que
ou seja, a imagem de
é o plano de equação
. Como esse plano é de dimensão 2, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
Precisamos então construir
com posto 2 e núcleo de dimensão 1.
Passo 2
Definimos
É claro que
é linear, pois cada coordenada é combinação linear das variáveis
.
Passo 3
Mostramos que
. De fato, para
genérico,
logo
sempre satisfaz
. Portanto a imagem de
está contida no plano desejado.
Passo 4
Para ver que
é exatamente esse plano (e não apenas um subespaço próprio), exibimos dois vetores independentes no plano que estão em
. Por exemplo,
Esses dois vetores pertencem ao plano
e são linearmente independentes, mostrando que
. Assim
é o plano todo.
Passo 5
Encontramos
que implica (x=y=z]. Logo
Resposta
(a) Uma boa escolha é
(b) Uma base de
é