Questão 03. (3,5 pontos) Sejam F e G operadores lineares do \mathbb{R}^{2} tais que F(x, y)=(x+y, x) e G(x, y)= ( y, x+y )
(a) (2,0) Seja I o operador identidade 2 \times 2, escreva a representação matricial do operador (F \circ G+I)^{-1} na base canônica e determine os autovalores e os autovetores desse operador.
(b) (1,5) A matriz encontrada no item anterior é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado define os operadores lineares F,G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
F(x,y) = (x+y,\;x), \qquad G(x,y) = (y,\;x+y),
e pede a matriz de (F\circ G + I)^{-1} na base canônica, além de seus autovalores e autovetores, e por fim verificar se ela é diagonalizável. Vamos usar teoria de matrizes de operadores, composição, soma com a identidade, inversão de matrizes 2\times2 e estudo de autovalores/vetores.
Passo 2
Montamos as matrizes de F e G na base canônica. Para F: F(1,0)=(1,1) e F(0,1)=(1,0), logo
O único autovalor é \lambda = \tfrac12 (multiplicidade algébrica 2) e seus autovetores são todos os múltiplos de (1,0). A matriz não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2).]