As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(d) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & x \\\\ 4 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 & x \\\\ 4 & y & 1\end{pmatrix}
e pede para escolhermos x e y de modo que, para qualquer vetor \boldsymbol b=(b_{1},b_{2}), o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b tenha infinitas soluções. O conteúdo aqui é posto de conhecimentos sobre posto de matriz e a relação entre posto, número de incógnitas e existência/infinitude de soluções.

Passo 2

Para que haja solução para todo \boldsymbol b, a imagem de A deve ser todo \mathbb R^{2}, ou seja, \rank(A)=2. Como temos 3 incógnitas e 2 equações, se \rank(A)=2 haverá exatamente 3-2=1 grau de liberdade, o que garante infinitas soluções.

Passo 3

A condição \rank(A)=2 equivale a exigir que as linhas de A sejam linearmente independentes. As linhas são (1,3,x) e (4,y,1). Se existisse \lambda tal que
(4,y,1)=\lambda\,(1,3,x),
teríamos 4=\lambda, y=3\lambda e 1=\lambda x. Isso dá \lambda=4, y=12 e x=\tfrac14. Para evitar dependência linear devemos escolher (x,y)\neq(\tfrac14,12).

Passo 4

Basta então atribuir quaisquer valores a x e y diferentes de \tfrac14 e 12, por exemplo x=0 e y=0. Nessa escolha \rank(A)=2 e, tendo 3 incógnitas, o sistema terá infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b.

Resposta

x=0 e y=0

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