Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}\right) d y=y^{2} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(1 + x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2}\bigr)\,dy = y^{2}\,dx
e pede a solução geral. Este é um caso clássico de equação separável: podemos escrever um lado só com y e o outro só com x e então integrar.

Passo 2

Observamos que
1 + x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2} = (1 + x^{2})(1 + y^{2}),
logo a equação fica
(1 + x^{2})(1 + y^{2})\,dy = y^{2}\,dx.

Passo 3

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por \bigl(1 + x^{2}\bigr)\,y^{2}:
\frac{1 + y^{2}}{y^{2}}\,dy = \frac{dx}{1 + x^{2}}.

Passo 4

Escrevemos as integrais correspondentes:
\int \frac{1 + y^{2}}{y^{2}}\,dy \;=\;\int \frac{dx}{1 + x^{2}}.
Repare que
\frac{1 + y^{2}}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + 1.

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int\Bigl(y^{-2} + 1\Bigr)\,dy = \int y^{-2}\,dy + \int 1\,dy = -\frac{1}{y} + y,
\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \arctan x.
Logo obtemos
-\frac{1}{y} + y = \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Reorganizando para ficar mais “limpo”, podemos escrever a solução geral de forma implícita como
y - \frac{1}{y} = \arctan x + C.

Resposta

y - \frac{1}{y} = \arctan x + C.

Exercícios relacionados