QUESTÃO 01 : ( 6 pontos) Seja R a região delimitada pelas curvas y=1+x^{2} e y=4+x+x^{2}. Esboce R e calcule a área.

Passo 1

O enunciado pede a região R limitada pelas duas curvas
y_1 = 1 + x^2
e
y_2 = 4 + x + x^2
e quer que a gente faça um esboço de R e calcule a área dessa região. O conteúdo aqui é analisar interseções de curvas e verificar se formam uma região fechada para integrar a diferença.

Passo 2

Vamos achar as interseções resolvendo
1 + x^2 = 4 + x + x^2.
Subtraindo x^2 de ambos os lados e organizando, fica
1 = 4 + x \quad\Longrightarrow\quad x = -3.
Substituindo em y_1, obtemos o ponto de encontro
y = 1 + (-3)^2 = 10.
Logo, as curvas só se cruzam em \bigl(-3,10\bigr).

Passo 3

Para x > -3 temos
y_2 - y_1 = (4 + x + x^2) - (1 + x^2) = 3 + x > 0,
ou seja, y_2 fica acima de y_1 e as duas se afastam à medida que x\to+\infty.
Para x < -3, dá 3 + x<0, então y_1 fica acima de y_2 e elas também se afastam quando x\to-\infty.

Passo 4

Como as duas curvas se encontram num único ponto e em ambos os sentidos de x elas separam-se para o infinito, não há faixa fechada nem intervalo de x em que elas voltem a se encontrar. Isso significa que não existe uma região fechada e limitada somente por essas duas curvas.

Resposta

Não existe região fechada limitada por y=1+x^2 e y=4+x+x^2. A “região” entre elas é aberta e tem área infinita.

Exercícios relacionados