Questão 1: Calcule as integrais:
\int \sin ^{3}(x) \cos ^{4}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}(x)\,\cos^{4}(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui são identidades trigonométricas e a técnica de substituição (método de u-substituição).

Passo 2

Observe que \sin^{3}(x)=\sin(x)\,\sin^{2}(x) e use a identidade pitagórica \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x). Logo
\sin^{3}(x)\,\cos^{4}(x) =\sin(x)\,\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\,\cos^{4}(x) =\sin(x)\,\bigl(\cos^{4}(x)-\cos^{6}(x)\bigr).

Passo 3

Fazendo a substituição
u=\cos(x), \qquad du=-\sin(x)\,dx
temos \sin(x)\,dx=-du. Assim a integral vira
\int \sin(x)\,\bigl(\cos^{4}(x)-\cos^{6}(x)\bigr)\,dx =-\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
-\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du =-\Bigl( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} \Bigr) +C =-\frac{u^{5}}{5} +\frac{u^{7}}{7} +C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=\cos(x), obtemos
-\frac{\cos^{5}(x)}{5} +\frac{\cos^{7}(x)}{7} +C.

Resposta

-\frac{\cos^{5}(x)}{5}+\frac{\cos^{7}(x)}{7}+C.

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