QUESTÃO 03 :
( 1 ponto) Use o teste da divergência para mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+n-1}{5 n^{2}-n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da divergência (também chamado de teste do termo geral) na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+n-1}{5\,n^{2}-n}.
Esse teste diz que, se
\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0,
onde a_{n} é o termo geral da série, então a série diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_{n} = \frac{n^{3}+n-1}{5\,n^{2}-n}.
Para aplicar o teste da divergência, vamos calcular
\lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} = \frac{n^{3}+n-1}{5\,n^{2}-n} = \frac{n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{5 - \frac{1}{n}}.
Quando n\to\infty, o numerador cresce como n (ou seja, tende a +\infty) e o denominador tende a 5. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = +\infty \neq 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, o teste da divergência garante que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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