Questão 01: (2.5 Pontos) Seja m uma reta e P um ponto que não pertence a m. Seja H a união das semirretas de origem P que cortam m. Mostre que H é um conjunto convexo.

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria afim no plano: m é uma reta, Pnotin m é um ponto, e
H é a união de todas as semirretas de origem P que intersectam m. Queremos mostrar que H é convexo, ou seja, para quaisquer X,YinH e qualquer lambdain[0,1], o ponto
Z = lambda X + (1-lambda)Y
pertence a H.

Passo 2

Escolhemos uma forma analítica para m. Seja vetor normal ,nneq0 e escalar c tais que
m=,Xmid lang<= n,Xrang<= = c
Como Pnotin m, temos lang<= n,Prang<= neq c. Denotemos
D = lang<= n,Prang<= - c neq 0
Uma semirreta de origem P em direção v (com |v|=1) atinge m se existir t>=0 tal que
lang<= n,,P + t,vrang<= = c ;Longrightarrow; t = c - lang<= n,Prang<=lang<= n,vrang<= = -Dlang<= n,vrang<=
Para que t>=0 precisamos de
-Dlang<= n,vrang<=;>=;0 Long<=ftrightarrow D;lang<= n,vrang<=;<=;0

Passo 3

Todo ponto X dessa semirreta escreve-se como X=P+t,v com t>=0 e D,lang<= n,vrang<=<=0. Então
lang<= n,,X-Prang<= = lang<= n,,t,vrang<= = t,lang<= n,vrang<=
satisfaz
D;lang<= n,,X-Prang<= = D,t,lang<= n,vrang<= <=0,
pois t>=0. Logo
H =,Xmid D,lang<= n,,X-Prang<= <=0

Passo 4

A condição
D,lang<= n,,X-Prang<= <=0
define um semiespaço afim cujo contorno passa por P. Semiespaços afins são conjuntos convexos: se X e Y satisfazem D,lang<= n,,X-Prang<=<=0 e D,lang<= n,,Y-Prang<=<=0, então, para Z=lambda X+(1-lambda)Y com lambdain[0,1], temos
lang<= n,,Z-Prang<= = lambdalang<= n,,X-Prang<=+(1-lambda)lang<= n,,Y-Prang<=
e portanto
D,lang<= n,,Z-Prang<= <= lambdacdot0 + (1-lambda)cdot0 = 0,
logo ZinH.

Resposta

H é um semiespaço afim, logo é convexo.

Exercícios relacionados