Questão 01: (2.5 Pontos) Seja
uma reta e
um ponto que não pertence a
. Seja
a união das semirretas de origem
que cortam
. Mostre que
é um conjunto convexo.
Passo 1
O enunciado trabalha com geometria afim no plano:
é uma reta,
é um ponto, e
é a união de todas as semirretas de origem
que intersectam
. Queremos mostrar que
é convexo, ou seja, para quaisquer
e qualquer
, o ponto
pertence a
.
Passo 2
Escolhemos uma forma analítica para
. Seja vetor normal
e escalar
tais que
Como
, temos
. Denotemos
Uma semirreta de origem
em direção
(com
) atinge
se existir
tal que
Para que
precisamos de
Passo 3
Todo ponto
dessa semirreta escreve-se como
com
e
. Então
satisfaz
pois
. Logo
Passo 4
A condição
define um semiespaço afim cujo contorno passa por
. Semiespaços afins são conjuntos convexos: se
e
satisfazem
e
, então, para
com
, temos
e portanto
logo
.