Sejam V um espaço vetorial com produto interno e v, w in V. Defina a função T: U longrightarrow V por T(u)=lang<= u, vrang<= w, forall u in V.
Mostre que T possui um adjunto e descreva T^*.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:Vto V num espaço de dimensão qualquer com produto interno, por
T(u)=lang<= u,vrang<=,w,
onde v,win V são fixos. O conteúdo que vamos usar é a definição de adjunto: T^* é o único operador que satisfaz
lang<= T(u),zrang<==lang<= u,T^*(z)rang<= forall,u,zin V

Passo 2

Começamos calculando o lado esquerdo da condição de adjunção:
lang<= T(u),zrang<= =llang<= lang<= u,vrang<=,w,;zrrang<=
Como o produto interno é linear no primeiro argumento (caso real) ou conjugado-linear num dos argumentos (caso complexo), podemos extrair o escalar lang<= u,vrang<=:
lang<= T(u),zrang<= =lang<= u,vrang<=;lang<= w,zrang<=

Passo 3

Queremos escrever esse resultado na forma lang<= u,;cdot;rang<=. Note que, para um escalar alpha, vale
lang<= u,alpha,vrang<= =alpha,lang<= u,vrang<=
Aqui precisamos de um escalar alpha tal que
alpha,lang<= u,vrang<= =lang<= u,vrang<=,lang<= w,zrang<=

Passo 4

Comparando os dois lados, vemos que devemos ter
alpha=lang<= w,zrang<= Longrightarrow alpha=lang<= w,zrang<==lang<= z,wrang<=
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lang<= T(u),zrang<= =lang<= u,;lang<= z,wrang<=,vrang<= =lang<= u,T^*(z)rang<=

Passo 5

Concluímos que o adjunto T^*:Vto V está dado por
T^*(z)=lang<= z,wrang<=,v,
pois assim satisfaz lang<= T(u),zrang<==lang<= u,T^*(z)rang<= para todos u,z.

Resposta

T^*(z)=lang<= z,wrang<=,v

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