Sejam
um espaço vetorial com produto interno e
. Defina a função
por
.
Mostre que
possui um adjunto e descreva
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define um operador linear
num espaço de dimensão qualquer com produto interno, por
onde
são fixos. O conteúdo que vamos usar é a definição de adjunto:
é o único operador que satisfaz
Passo 2
Começamos calculando o lado esquerdo da condição de adjunção:
Como o produto interno é linear no primeiro argumento (caso real) ou conjugado-linear num dos argumentos (caso complexo), podemos extrair o escalar
:
Passo 3
Queremos escrever esse resultado na forma
. Note que, para um escalar
, vale
Aqui precisamos de um escalar
alpha tal que
Passo 4
Comparando os dois lados, vemos que devemos ter
Logo
Passo 5
Concluímos que o adjunto
T^*:Vto V está dado por
pois assim satisfaz
lang<= T(u),zrang<==lang<= u,T^*(z)rang<= para todos
u,z .