Questão 06: Mostre que [c a, c b]=|c|[a, b]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a,b e inteiro c, vale
[c\,a,\;c\,b] \;=\; |c|\,[a,b],
onde [x,y] é o mínimo múltiplo comum de x e y. Para resolver, vamos usar a definição de [x,y] em função de (x,y), o máximo divisor comum.

Passo 2

Lembrando que, por definição, o mínimo múltiplo comum satisfaz
[x,y] \;=\;\frac{\bigl|x\,y\bigr|}{(x,y)},
e que o máximo divisor comum obedece à propriedade
(c\,a,\;c\,b)\;=\;|c|\,(a,b).
A partir daí, basta calcular [c\,a,c\,b] substituindo essas fórmulas.

Passo 3

Primeiro, justificamos por que (c\,a,\;c\,b)=|c|\,(a,b).
Como todo divisor comum de a e b multiplicado por c é divisor comum de c\,a e c\,b, temos
(c\,a,\;c\,b) =\;|c|\;\bigl(a,b\bigr).
Em particular, o fator absoluto aparece se c for negativo.

Passo 4

Agora usamos a definição de mínimo múltiplo comum:
[c\,a,c\,b] =\frac{\bigl|\,c\,a\;\cdot\;c\,b\,\bigr|}{(c\,a,\;c\,b)} =\frac{|c|^2\,|a\,b|}{|c|\,(a,b)} =|c|\;\frac{|a\,b|}{(a,b)} =|c|\,[a,b].

Resposta

[c\,a,\;c\,b]=|c|\,[a,b].

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