QUESTÃO 01 : Resolva as inequações a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que precisamos extrair:
- A expressão é uma função racional: numerador
e denominador . - Precisamos encontrar os valores de
que tornam a razão menor ou igual a zero. - Pontos importantes para a análise: zeros do numerador (onde a fração pode ser zero) e zeros do denominador (onde a fração é indefinida). A partir desses pontos faremos um estudo de sinal por intervalos.
Passo 2
Encontrar zeros do numerador e do denominador (pontos críticos).
- Numerador:
. - Um fator é
, que zera em . - O outro fator é
. Vamos verificar se esse quadrático tem raízes reais calculando o discriminante:
Como , o quadrático não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente de é positivo ( ), então >0) para todo .
Portanto, o único zero real do numerador é. - Um fator é
- Denominador:
. Vamos fatorar: Assim os zeros do denominador são e . Nestes pontos a função é indefinida (não podem fazer parte da solução).
Resumo dos pontos críticos:
(denominador zero),
(numerador zero),
(denominador zero). E observar que
sempre.
Passo 3
Determinar o domínio e preparar a partição da reta:
- Domínio: todos os
tais que o denominador não é zero, ou seja e . - Partição da reta real pelos pontos críticos produz os intervalos:
Vamos estudar o sinal da expressão em cada intervalo. Lembre-se: como
sempre, o sinal da fração é determinado por
no numerador e por
no denominador.
Passo 4
Método de teste de sinal (explicação breve):
- Para uma função racional em que todos os fatores são lineares ou sempre positivos, basta escolher um ponto de teste em cada intervalo e calcular o sinal da expressão nesse ponto.
- Se o numerador for zero em um ponto interior do intervalo, esse ponto dá valor zero (e entra na solução se a inequação permitir igualdade).
- Nos pontos onde o denominador zera, a expressão é indefinida e esses pontos não entram na solução.
Passo 5
Avaliar o sinal em cada intervalo usando pontos de teste (mostrando os cálculos de forma clara).
Intervalo
. Teste
.
Negativo dividido por negativo é positivo. Logo a fração é
em
.
Intervalo
. Teste
.
Negativo dividido por positivo é negativo. Logo a fração é
em
.
Ponto
:
e o denominador em
é
portanto a fração vale
em
. Como a inequação permite
,
deve ser incluído.
Intervalo
. Teste
.
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é
em
.
Intervalo
. Teste
.
Positivo dividido por negativo é negativo. Logo a fração é
em
.
Passo 6
Concluir quais intervalos satisfazem a inequação
:
- A fração é negativa em
e em . - Em
a fração é zero e deve ser incluída (igualdade permitida). - Nos pontos
e a fração é indefinida (denominador zero), então esses pontos não entram na solução.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa, mais o ponto onde é zero: