QUESTÃO 01 : Resolva as inequações a seguir.
\frac{(x+1)\left(x^{2}-2 x+8\right)}{-x^{2}+2 x+15} \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{(x+1)\left(x^{2}-2x+8\right)}{-x^{2}+2x+15}\leq 0.
Informações dadas e o que precisamos extrair:
  • A expressão é uma função racional: numerador (x+1)\left(x^{2}-2x+8\right) e denominador -x^{2}+2x+15.
  • Precisamos encontrar os valores de x que tornam a razão menor ou igual a zero.
  • Pontos importantes para a análise: zeros do numerador (onde a fração pode ser zero) e zeros do denominador (onde a fração é indefinida). A partir desses pontos faremos um estudo de sinal por intervalos.

Passo 2

Encontrar zeros do numerador e do denominador (pontos críticos).
  • Numerador: (x+1)\left(x^{2}-2x+8\right).
    • Um fator é x+1, que zera em x=-1.
    • O outro fator é x^{2}-2x+8. Vamos verificar se esse quadrático tem raízes reais calculando o discriminante:
    \Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot8 = 4-32 = -28.Como \Delta<0, o quadrático não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente de x^{2} é positivo ( 1), então \(x^{2}-2x+8>0) para todo x\in\mathbb{R}.
    Portanto, o único zero real do numerador é x=-1.
  • Denominador: -x^{2}+2x+15. Vamos fatorar: -x^{2}+2x+15 = -(x^{2}-2x-15) = -(x-5)(x+3).Assim os zeros do denominador são x=5 e x=-3. Nestes pontos a função é indefinida (não podem fazer parte da solução).
Resumo dos pontos críticos: x=-3 (denominador zero), x=-1 (numerador zero), x=5 (denominador zero). E observar que x^{2}-2x+8>0 sempre.

Passo 3

Determinar o domínio e preparar a partição da reta:
  • Domínio: todos os x tais que o denominador não é zero, ou seja x\neq -3 e x\neq 5.
  • Partição da reta real pelos pontos críticos produz os intervalos: (-\infty,-3),\quad (-3,-1),\quad (-1,5),\quad (5,\infty).
Vamos estudar o sinal da expressão em cada intervalo. Lembre-se: como x^{2}-2x+8>0 sempre, o sinal da fração é determinado por x+1 no numerador e por -(x-5)(x+3) no denominador.

Passo 4

Método de teste de sinal (explicação breve):
  • Para uma função racional em que todos os fatores são lineares ou sempre positivos, basta escolher um ponto de teste em cada intervalo e calcular o sinal da expressão nesse ponto.
  • Se o numerador for zero em um ponto interior do intervalo, esse ponto dá valor zero (e entra na solução se a inequação permitir igualdade).
  • Nos pontos onde o denominador zera, a expressão é indefinida e esses pontos não entram na solução.

Passo 5

Avaliar o sinal em cada intervalo usando pontos de teste (mostrando os cálculos de forma clara).
Intervalo (-\infty,-3). Teste x=-4.
\text{Numerador: }(x+1)(x^{2}-2x+8) = (-4+1)\cdot(\text{positivo}) = (-3)\cdot(\text{positivo})<0.
\text{Denominador: }-x^{2}+2x+15 = -(-4)^{2}+2(-4)+15 = -16-8+15=-9<0.
Negativo dividido por negativo é positivo. Logo a fração é >0 em (-\infty,-3).
Intervalo (-3,-1). Teste x=-2.
\text{Numerador: }(-2+1)\cdot(\text{positivo}) = (-1)\cdot(\text{positivo})<0.
\text{Denominador: }-(-2)^{2}+2(-2)+15 = -4-4+15=7>0.
Negativo dividido por positivo é negativo. Logo a fração é <0 em (-3,-1).
Ponto x=-1:
\text{Numerador} = ( -1 + 1 )\cdot(\text{positivo}) = 0,
e o denominador em x=-1 é
-(-1)^{2}+2(-1)+15 = -1-2+15=12\neq0,
portanto a fração vale 0 em x=-1. Como a inequação permite \leq 0, x=-1 deve ser incluído.
Intervalo (-1,5). Teste x=0.
\text{Numerador: }(0+1)\cdot(\text{positivo})>0.
\text{Denominador: }-0+0+15=15>0.
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é >0 em (-1,5).
Intervalo (5,\infty). Teste x=6.
\text{Numerador: }(6+1)\cdot(\text{positivo})=7\cdot(\text{positivo})>0.
\text{Denominador: }-6^{2}+2\cdot6+15 = -36+12+15=-9<0.
Positivo dividido por negativo é negativo. Logo a fração é <0 em (5,\infty).

Passo 6

Concluir quais intervalos satisfazem a inequação \leq 0:
  • A fração é negativa em (-3,-1) e em (5,\infty).
  • Em x=-1 a fração é zero e deve ser incluída (igualdade permitida).
  • Nos pontos x=-3 e x=5 a fração é indefinida (denominador zero), então esses pontos não entram na solução.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa, mais o ponto onde é zero:
(-3,-1]\cup(5,\infty).

Resposta

(-3,-1]\cup(5,\infty)

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