QUESTÃO 01 : Resolva as inequações a seguir.
3 x^{2}+2 x-1 \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação 3x^{2}+2x-1 \geq 0.
Informações dadas:
  • A expressão envolvida é um polinômio quadrático com coeficientes a=3, b=2 e c=-1.
  • A pergunta é: encontrar o conjunto de todos os x reais que satisfazem 3x^{2}+2x-1 \geq 0.

Passo 2

Vamos encontrar as raízes (zeros) do polinômio porque elas delimitam onde o sinal pode mudar. Para isso uso o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac.
Substituindo a=3, b=2, c=-1:
\Delta = 2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.
O discriminante é \Delta=16, que é positivo, portanto existem duas raízes reais distintas. A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=4.

Passo 3

As raízes pela fórmula quadrática são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Substituindo os valores:
x=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 4}{6}.
Calculando separadamente:
x_{1}=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1, \qquad x_{2}=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora fatoro o polinômio usando as raízes encontradas. Como as raízes são -1 e \tfrac{1}{3}, uma fatoração simples é
3x^{2}+2x-1=(3x-1)(x+1).
(Check: (3x-1)(x+1)=3x^{2}+3x-x-1=3x^{2}+2x-1.)

Passo 5

Análise do sinal. Queremos (3x-1)(x+1)\ge 0. Para o produto de dois fatores ser não negativo há duas possibilidades: ambos fatores são não negativos ou ambos são não positivos.
  • Ambos não negativos:
    3x-1\ge 0 \quad\text{e}\quad x+1\ge 0
    que dá
    x\ge \tfrac{1}{3}\quad\text{e}\quad x\ge -1.
    As duas condições juntas equivalem a x\ge \tfrac{1}{3}.
  • Ambos não positivos:
    3x-1\le 0 \quad\text{e}\quad x+1\le 0
    que dá
    x\le \tfrac{1}{3}\quad\text{e}\quad x\le -1.
    As duas condições juntas equivalem a x\le -1.
Portanto a solução da inequação é
x\le -1 \quad\text{ou}\quad x\ge \tfrac{1}{3}.
Inclui-se os pontos x=-1 e x=\tfrac{1}{3} porque a desigualdade é \ge 0.

Passo 6

Verificação rápida com pontos-teste (prática para prova):
  • Para x=0 (entre as raízes) temos 3\cdot 0^{2}+2\cdot 0-1=-1<0, logo não satisfaz — como esperado.
  • Para x=2 (fora, à direita) temos 3\cdot 4+4-1=15>0, satisfaz.
  • Para x=-2 (fora, à esquerda) temos 3\cdot 4-4-1=7>0, satisfaz.
    Esses testes confirmam a análise do sinal.

Resposta

\,(-\infty,-1]\cup\bigl[\tfrac{1}{3},\infty\bigr)

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