Questão 01: Sistema massa-mola

Um bloco de massa 10 kg está preso a uma mola cuja constante elástica 1000 N / m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância de x=50 cm a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado a partir do repouso em t=0.
(a) [1,5 pontos] Calcule a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante.
(b) [1,0 pontos ] Calcule a velocidade e a aceleração máxima do bloco.
(c) [1,5 pontos ] Calcule a posição, a velocidade e a aceleração do bloco no instante t=pi / 4 s.
(d) [1 , 0 pontos ] Calcule a energia total do sistema bloco-mola.
(e) [1 , 0 pontos ] Calcule o primeiro instante de tempo no qual a energia cinética é igual a energia potencial elástica. Deixe a resposta em função de pi.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples de um bloco de massa m=10 kg preso a uma mola com constante elástica k=1000 N/m. O bloco é deslocado até a amplitude A=0,50 m e liberado do repouso em t=0. Vamos:
1. Calcular a frequência angular omega, a frequência f e o período T.
2. Encontrar a velocidade máxima vmax e a aceleração máxima amax.
3. Obter x(t), v(t) e a(t) e avaliar em t=pi/4 s.
4. Determinar a energia total E.
5. Achar o primeiro instante em que energia cinética iguala energia potencial elástica.

Passo 2

Para o movimento harmônico simples vale omega=raizk/m. Portanto,
omega=raiz100010=raiz100=10 rad/s
A frequência é f=omega/(2pi) e o período T=1/f, logo
f=102pi=5pi Hz, T=2piomega=2pi10=pi5 s

Passo 3

A velocidade máxima é vmax=omega A e a aceleração máxima é amax=omega^2 A. Assim,
vmax=10times0,50=5 m/s, amax=10^2times0,50=50 m/s^2

Passo 4

A solução com x(0)=A e v(0)=0 é
x(t)=Acos(omega t), v(t)=-Aomegasin(omega t), a(t)=-Aomega^2cos(omega t)
Em t=pi/4 s temos omega t=10cdotpi/4=5pi/2, e
cosl(5pi/2r)=0, sinl(5pi/2r)=1
Portanto,
xl(tfracpi4r)=0, vl(tfracpi4r)=-0,50cdot10cdot1=-5 m/s, al(tfracpi4r)=0

Passo 5

A energia total é
E=12,kA^2 =12cdot1000cdot(0,50)^2 =125 J

Passo 6

Queremos o primeiro t>0 tal que K=U, ou seja tfrac12mv^2=tfrac12kx^2. Isso ocorre quando x^2=A^2/2, logo cos(omega t)=1/raiz2. O menor omega t positivo é pi/4, daí
t=pi/4omega=pi4cdot10=pi40 s

Resposta

(a) omega=10 rad/s, f=tfrac5pi Hz, T=tfracpi5 s
(b) vmax=5 m/s, amax=50 m/ s^2
(c) x(tfracpi4)=0, v(tfracpi4)=-5 m/s, a(tfracpi4)=0
(d) E=125 J
(e) t=tfracpi40 s

Exercícios relacionados