\begin{cases} x + 2y + z = 3,\\\\ 2x + 5y - z = -4,\\\\ 3x - 2y - z = 5,
e pede a solução via Método de Gauss–Jordan, que consiste em formar a matriz aumentada, usar operações de linha para chegar à forma reduzida por linhas (RREF) e então ler diretamente x, y e z.
Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo em sua coluna. Fazemos \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\,\text{R}_1.
Os cálculos são:
para \text{R}_2: (2 - 2\cdot1,\;5 - 2\cdot2,\;-1 - 2\cdot1,\;-4 - 2\cdot3) = (0,1,-3,-10).
para \text{R}_3: (3 - 3\cdot1,\;-2 - 3\cdot2,\;-1 - 3\cdot1,\;5 - 3\cdot3) = (0,-8,-4,-4).
Usamos agora o pivô 1 em \text{R}_2 para zerar as entradas acima e abaixo na coluna y. Fazemos \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 2\,\text{R}_2 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 8\,\text{R}_2.
Os resultados são:
para \text{R}_1: (1,\;2 - 2\cdot1,\;1 - 2\cdot(-3),\;3 - 2\cdot(-10)) = (1,0,7,23).
para \text{R}_3: (0,\;-8 + 8\cdot1,\;-4 + 8\cdot(-3),\;-4 + 8\cdot(-10)) = (0,0,-28,-84).
Por fim, normalizamos a terceira linha dividindo por -28: \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3/(-28) dá (0,0,1,3).
Em seguida zeramos as outras entradas na coluna z com \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 7\,\text{R}_3 e \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + 3\,\text{R}_3.