Questão 01 (Valor 2.5): Utilize o Método de Gauss-Jordan para resolver o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=3 \\\\ 2 x+5 y-z=-4 \\\\ 3 x-2 y-z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + z = 3,\\\\ 2x + 5y - z = -4,\\\\ 3x - 2y - z = 5,
e pede a solução via Método de Gauss–Jordan, que consiste em formar a matriz aumentada, usar operações de linha para chegar à forma reduzida por linhas (RREF) e então ler diretamente x, y e z.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 2 & 5 & -1 & -4\\\\ 3 & -2 & -1 & 5 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo em sua coluna. Fazemos \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\,\text{R}_1.
Os cálculos são:
para \text{R}_2: (2 - 2\cdot1,\;5 - 2\cdot2,\;-1 - 2\cdot1,\;-4 - 2\cdot3) = (0,1,-3,-10).
para \text{R}_3: (3 - 3\cdot1,\;-2 - 3\cdot2,\;-1 - 3\cdot1,\;5 - 3\cdot3) = (0,-8,-4,-4).
A matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & -3 & -10\\\\ 0 & -8 & -4 & -4 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos agora o pivô 1 em \text{R}_2 para zerar as entradas acima e abaixo na coluna y. Fazemos \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 2\,\text{R}_2 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 8\,\text{R}_2.
Os resultados são:
para \text{R}_1: (1,\;2 - 2\cdot1,\;1 - 2\cdot(-3),\;3 - 2\cdot(-10)) = (1,0,7,23).
para \text{R}_3: (0,\;-8 + 8\cdot1,\;-4 + 8\cdot(-3),\;-4 + 8\cdot(-10)) = (0,0,-28,-84).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 23\\\\ 0 & 1 & -3 & -10\\\\ 0 & 0 & -28 & -84 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, normalizamos a terceira linha dividindo por -28: \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3/(-28) (0,0,1,3).
Em seguida zeramos as outras entradas na coluna z com \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 7\,\text{R}_3 e \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + 3\,\text{R}_3.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right],
que é a forma reduzida por linhas.

Resposta

(x,y,z) = (2, -1, 3)

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