Questão 04 (Valor 2.5):
(a) Sabendo que
\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{3},\left\|\vec{v}\right\|=2 \sqrt{5}
e que 30^{\circ} é a medida do ângulo entre os vetores
\left\|\vec{u}\right\|
e
\left\|\vec{v}\right\|, determine
\left\|\vec{u}+2 \vec{v}\right\|^{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec u e \vec v com normas \|\vec u\|=\sqrt{3} e \|\vec v\|=2\sqrt{5}, e o ângulo entre eles é 30^\circ. Queremos encontrar \|\vec u+2\vec v\|^2. Para isso vamos usar a fórmula da norma ao quadrado de uma soma de vetores e a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo.

Passo 2

A identidade para a norma ao quadrado vale:
\|\vec u+2\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 4\|\vec v\|^2 + 2\cdot2\;\vec u\!\cdot\!\vec v = \|\vec u\|^2 + 4\,\|\vec v\|^2 + 4\,(\vec u\!\cdot\!\vec v).

Passo 3

Usamos a relação \vec u\!\cdot\!\vec v = \|\vec u\|\;\|\vec v\|\cos\theta. Como \theta=30^\circ,
\vec u\!\cdot\!\vec v = (\sqrt{3})\,(2\sqrt{5})\;\cos30^\circ = 2\sqrt{15}\;\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.

Passo 4

Substituindo \|\vec u\|^2=(\sqrt{3})^2=3, \|\vec v\|^2=(2\sqrt{5})^2=20 e \vec u\!\cdot\!\vec v=3\sqrt{5} na fórmula:
\|\vec u+2\vec v\|^2 = 3 + 4\cdot20 + 4\cdot(3\sqrt{5}) = 3 + 80 + 12\sqrt{5} = 83 + 12\sqrt{5}.

Resposta

83 + 12\sqrt{5}.

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