Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Considere o sistema \left\{\begin{aligned}-x+3 y-z & =10 \\\\ 2 x-3 y+z & =-15 \\\\ 2 x-4 y+2 z & =1\end{aligned}\right..
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes aplicando o método da linha (ou coluna).
(c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes.
(d) Mostre que o produto da matriz dos coeficientes com a sua inversa é igual à matriz identidade.
(e) Determine a solução do sistema.
e pede:
a) escrever na forma matricial;
b) calcular o determinante de A;
c) calcular A^{-1};
d) mostrar que A\,A^{-1}=I;
e) resolver o sistema.
Tudo isso usando teoria de matrizes (determinante, adjunta e inversa).
Passo 2
Para colocar o sistema em forma matricial, definimos
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}10\\\ -15\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim o sistema fica
A\,\mathbf x = \mathbf b.
Passo 3
Para calcular \det(A) expandimos pela primeira linha: