Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Considere o sistema \left\{\begin{aligned}-x+3 y-z & =10 \\\\ 2 x-3 y+z & =-15 \\\\ 2 x-4 y+2 z & =1\end{aligned}\right..
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes aplicando o método da linha (ou coluna).
(c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes.
(d) Mostre que o produto da matriz dos coeficientes com a sua inversa é igual à matriz identidade.
(e) Determine a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} -x + 3y - z = 10,\\\\ 2x - 3y + z = -15,\\\\ 2x - 4y + 2z = 1, \end{cases}
e pede:
a) escrever na forma matricial;
b) calcular o determinante de A;
c) calcular A^{-1};
d) mostrar que A\,A^{-1}=I;
e) resolver o sistema.
Tudo isso usando teoria de matrizes (determinante, adjunta e inversa).

Passo 2

Para colocar o sistema em forma matricial, definimos
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}10\\\ -15\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim o sistema fica
A\,\mathbf x = \mathbf b.

Passo 3

Para calcular \det(A) expandimos pela primeira linha:
\det(A) = (-1)\begin{vmatrix}-3 & 1\\\ -4 & 2\end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 2 & 2\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 2 & -4\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}-3 & 1\\\ -4 & 2\end{vmatrix} =(-3)\cdot2 - 1\cdot(-4)=-6+4=-2,
\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 2 & 2\end{vmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot2=4-2=2,
\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 2 & -4\end{vmatrix} =2\cdot(-4)-(-3)\cdot2=-8+6=-2.
Logo
\det(A)=(-1)(-2)\;-\;3\,(2)\;+\;(-1)(-2) =2-6+2=-2.

Passo 4

Como \det(A)=-2\neq0, A é invertível. Usamos o método da adjunta:
A^{-1}=\frac1{\det(A)}\;\mathrm{adj}(A).
Calculando os cofatores C_{ij} e montando a matriz de cofatores, obtemos
\bigl[C_{ij}\bigr]= \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2\\\\ -2 & 0 & 2\\\\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix},
de onde a adjunta é a transposta:
\mathrm{adj}(A)= \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\\\ -2 & 0 & -1\\\\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1} =\frac{-1}{2} \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\\\ -2 & 0 & -1\\\\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 1 & -1 & \tfrac32 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para verificar que A\,A^{-1}=I, basta conferir algumas linhas e colunas. Por exemplo, a entrada (1,1) do produto vale
(-1)\cdot1 + 3\cdot1 + (-1)\cdot1 = -1+3-1 = 1,
e a (1,2) vale
(-1)\cdot1 + 3\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = -1+0+1 = 0.
Fazendo isso para todas as entradas, obtemos a matriz identidade I_3.

Passo 6

A solução do sistema pode ser escrita como
\mathbf x = A^{-1}\,\mathbf b = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 1 & -1 & \tfrac32 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}10\\\ -15\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculando coordenada a coordenada:
x = 1\cdot10 + 1\cdot(-15) + 0\cdot1 = -5,
y = 1\cdot10 + 0\cdot(-15) + \tfrac12\cdot1 = 10 + \tfrac12 = \tfrac{21}{2},
z = 1\cdot10 + (-1)\cdot(-15) + \tfrac32\cdot1 = 10 +15 + \tfrac32 = \tfrac{53}{2}.

Resposta

(x,y,z) = \bigl(-5,\tfrac{21}{2},\tfrac{53}{2}\bigr).

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