Questão 02 (Valor 2.5): Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ -3 & 6 & 2 \end{array}\right) Passo 1O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ -1 & 4 & 0\\\\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix}. O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, em seguida, achar as respectivas autoespaços resolvendo (A-\lambda I)x=0. Passo 2Como A é triangular inferior, seu polinômio característico é \det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda)(2-\lambda). Logo os autovalores são \lambda_1 = 2 \quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 4 \quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé Passo 3Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. As equações são -\,x + 2y = 0,\qquad -3x+6y = 0, que dão x=2y, e z fica livre. Assim um autoespaço de dimensão 2 é gerado por v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Passo 4Para \lambda=4 temos (A-4I)x = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ -3 & 6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0. A primeira linha dá x=0. A terceira linha fica 6y-2z=0, ou seja z=3y. Tomando y=1 obtemos o autovetor v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}. RespostaAutovalores e autovetores de A: \lambda=2 (alg. mult.\ 2), autoespaço gerado por \bigl\{(2,1,0)^T,\,(0,0,1)^T\bigr\}. \lambda=4 (alg. mult.\ 1), autoespaço gerado por \{(0,1,3)^T\}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 01 (Valor 2.5): Utilize o Método de Gauss-Jordan para resolver o seguinte sistema linear: \left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=3 \\\\ 2 x+5 y-z=-4 \\\\ 3 x-2 y-z=5 \end{array}\right. Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria. Considere o sistema \left\{\begin{aligned}-x+3 y-z & =10 \\\\ 2 x-3 y+z & =-15 \\\\ 2 x-4 y+2 z & =1\end{aligned}\right.. (a) Escreva o sistema na forma matricial. (b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes aplicando o método da linha (ou coluna). (c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes. (d) Mostre que o produto da matriz dos coeficientes com a sua inversa é igual à matriz identidade. (e) Determine a solução do sistema. Questão 04 (Valor 2.5): (a) Sabendo que \left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{3},\left\|\vec{v}\right\|=2 \sqrt{5} e que 30^{\circ} é a medida do ângulo entre os vetores \left\|\vec{u}\right\| e \left\|\vec{v}\right\|, determine \left\|\vec{u}+2 \vec{v}\right\|^{2}. Questão 03 (Valor 2.0): Encontre equações vetorial e paramétricas da reta que contém o ponto A=(1,-1,1) e é paralela à reta s: \frac{1 \theta}{5}=\frac{3 y}{6}=\frac{z+3}{6}.