Questão 02 (Valor 2.5): Encontre os autovalores e os autovetores da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ -3 & 6 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ -1 & 4 & 0\\\\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, em seguida, achar as respectivas auto­espaços resolvendo (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seu polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda)(2-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2 \quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 4 \quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=2 resolvemos
(A-2I)x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações são
-\,x + 2y = 0,\qquad -3x+6y = 0,
que dão x=2y, e z fica livre. Assim um autoespaço de dimensão 2 é gerado por
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=4 temos
(A-4I)x = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ -3 & 6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
A primeira linha dá x=0. A terceira linha fica 6y-2z=0, ou seja z=3y. Tomando y=1 obtemos o autovetor
v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e autovetores de A: \lambda=2 (alg. mult.\ 2), autoespaço gerado por \bigl\{(2,1,0)^T,\,(0,0,1)^T\bigr\}. \lambda=4 (alg. mult.\ 1), autoespaço gerado por \{(0,1,3)^T\}.

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