Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se C é um conjunto ortogonal, basta normalizar cada vetor e obtém-se um conjunto ortonormal

Passo 1

O enunciado pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é: “Se C é um conjunto ortogonal, basta normalizar cada vetor e obtém-se um conjunto ortonormal.”
Informações dadas (explicitadas):
  • Há um conjunto C de vetores num espaço com produto interno (por exemplo \mathbb{R}^n com o produto escalar).
  • A hipótese é que C é um conjunto ortogonal (ou seja, vetores distintos de C são ortogonais entre si).
  • A conclusão proposta é que basta normalizar cada vetor de C para obter um conjunto ortonormal.
O objetivo é verificar se essa conclusão é sempre verdadeira e justificar a resposta.

Passo 2

Definições claras (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Definição de conjunto ortogonal: um conjunto C\) é ortogonal se, para quaisquer dois vetores distintos \(u,v\in C\), \[\langle u,v\rangle = 0.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno (produto escalar). Isso significa que cada par de vetores diferentes em C é perpendicular.
  • Definição de conjunto ortonormal: um conjunto S é ortonormal se, para quaisquer u,v\in S,
\langle u,v\rangle = \begin{cases} 1, & \text{se } u=v,\\[4pt] 0, & \text{se } u\neq v, \end{cases}
ou seja, vetores distintos são ortogonais e cada vetor tem norma (1].
  • Normalizar um vetor não nulo v: define-se o vetor normalizado
\widehat{v}=\frac{v}{\|v\|},
onde a norma \|v\| é \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}. Observação importante: isso só faz sentido se \|v\|\neq 0, ou seja, v\neq 0.]

Passo 3

Mostrar que, quando todos os vetores são não nulos, normalizar preserva a ortogonalidade e produz norma 1:
Se u,v são vetores não nulos e \langle u,v\rangle=0, defina
\widehat{u}=\frac{u}{\|u\|},\qquad \widehat{v}=\frac{v}{\|v\|}.
Calcule o produto interno entre os normalizados:
\langle \widehat{u},\widehat{v}\rangle = \left\langle \frac{u}{\|u\|},\frac{v}{\|v\|}\right\rangle = \frac{1}{\|u\|\,\|v\|}\langle u,v\rangle.
Se \langle u,v\rangle=0, então \langle \widehat{u},\widehat{v}\rangle=0. Além disso, para qualquer u\neq 0,
\|\widehat{u}\|=\left\|\frac{u}{\|u\|}\right\|=\frac{\|u\|}{\|u\|}=1.
Portanto, se todo vetor de C for não nulo, normalizar cada vetor transforma um conjunto ortogonal num conjunto ortonormal (porque mantém ortogonalidade entre vetores distintos e torna cada norma igual a 1).

Passo 4

Mostrar por que a afirmação do enunciado, tal como está escrita, é falsa: apontar o ponto fraco (o caso do vetor zero) e dar um contraexemplo concreto.
Problema: a afirmação dita “basta normalizar cada vetor” sem excluir a possibilidade de C conter o vetor nulo 0. O vetor nulo tem norma zero, e não é possível dividi-lo por \|0\|=0 — a normalização é impossível para o vetor nulo.
Contraexemplo simples em \mathbb{R}^2: considere
C=\{(1,0),(0,0)\}.
Verificar que C é ortogonal:
\langle(1,0),(0,0)\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
logo os vetores distintos são ortogonais e C é um conjunto ortogonal segundo a definição usada.
Agora tentar normalizar cada vetor:
  • (1,0) pode ser normalizado: \dfrac{(1,0)}{\|(1,0)\|}=\dfrac{(1,0)}{1}=(1,0).
  • (0,0) não pode ser normalizado porque \|(0,0)\|=0 e não existe \dfrac{(0,0)}{0}.
Portanto não “basta normalizar cada vetor”: em presença do vetor zero a operação falha. Assim a afirmação, tal como está, é falsa.

Passo 5

Forma correta da afirmação e conclusão pedagógica:
  • Correção: a afirmação fica verdadeira se acrescentarmos a hipótese de que nenhum vetor de C é o vetor nulo. Ou seja, “Se C é um conjunto ortogonal formado só por vetores não nulos, então normalizar cada vetor produz um conjunto ortonormal.”
  • Resumo curto do raciocínio: normalizar preserva produto interno entre vetores distintos (apenas escala), e torna a norma de cada vetor igual a 1; mas a normalização só existe para vetores não nulos. Logo o único obstáculo é a presença do vetor zero.
Força aí — essa é uma armadilha clássica em provas: sempre checar se o vetor zero está ou não no conjunto antes de dizer que se pode normalizar tudo.

Resposta

F

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