Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se C é um conjunto ortogonal, basta normalizar cada vetor e obtém-se um conjunto ortonormal
Passo 1
O enunciado pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é: “Se C é um conjunto ortogonal, basta normalizar cada vetor e obtém-se um conjunto ortonormal.”
Informações dadas (explicitadas):
Há um conjunto C de vetores num espaço com produto interno (por exemplo \mathbb{R}^n com o produto escalar).
A hipótese é que C é um conjunto ortogonal (ou seja, vetores distintos de C são ortogonais entre si).
A conclusão proposta é que basta normalizar cada vetor de C para obter um conjunto ortonormal.
O objetivo é verificar se essa conclusão é sempre verdadeira e justificar a resposta.
Passo 2
Definições claras (passo-a-passo, sem pular etapas):
Definição de conjunto ortogonal: um conjunto C\) é ortogonal se, para quaisquer dois vetores distintos \(u,v\in C\),
\[\langle u,v\rangle = 0.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno (produto escalar). Isso significa que cada par de vetores diferentes em C é perpendicular.
Definição de conjunto ortonormal: um conjunto S é ortonormal se, para quaisquer u,v\in S,
Portanto, se todo vetor de C for não nulo, normalizar cada vetor transforma um conjunto ortogonal num conjunto ortonormal (porque mantém ortogonalidade entre vetores distintos e torna cada norma igual a 1).
Passo 4
Mostrar por que a afirmação do enunciado, tal como está escrita, é falsa: apontar o ponto fraco (o caso do vetor zero) e dar um contraexemplo concreto.
Problema: a afirmação dita “basta normalizar cada vetor” sem excluir a possibilidade de C conter o vetor nulo 0. O vetor nulo tem norma zero, e não é possível dividi-lo por \|0\|=0 — a normalização é impossível para o vetor nulo.
logo os vetores distintos são ortogonais e C é um conjunto ortogonal segundo a definição usada.
Agora tentar normalizar cada vetor:
(1,0) pode ser normalizado: \dfrac{(1,0)}{\|(1,0)\|}=\dfrac{(1,0)}{1}=(1,0).
(0,0) não pode ser normalizado porque \|(0,0)\|=0 e não existe \dfrac{(0,0)}{0}.
Portanto não “basta normalizar cada vetor”: em presença do vetor zero a operação falha. Assim a afirmação, tal como está, é falsa.
Passo 5
Forma correta da afirmação e conclusão pedagógica:
Correção: a afirmação fica verdadeira se acrescentarmos a hipótese de que nenhum vetor de C é o vetor nulo. Ou seja, “Se C é um conjunto ortogonal formado só por vetores não nulos, então normalizar cada vetor produz um conjunto ortonormal.”
Resumo curto do raciocínio: normalizar preserva produto interno entre vetores distintos (apenas escala), e torna a norma de cada vetor igual a 1; mas a normalização só existe para vetores não nulos. Logo o único obstáculo é a presença do vetor zero.
Força aí — essa é uma armadilha clássica em provas: sempre checar se o vetor zero está ou não no conjunto antes de dizer que se pode normalizar tudo.