Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se o conjunto B é um conjunto ortonormal então B é linearmente independente (L.I.)

Passo 1

O enunciado apresenta a afirmação: “Se o conjunto B é um conjunto ortonormal então B é linearmente independente (L.I.)”.
O que se pede: decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.
Informações dadas (explicitadas):
  • Há um conjunto B de vetores em um espaço vetorial com produto interno (ou seja, se fala em ortonormalidade, estamos num espaço com produto interno).
  • Supõe-se que B é ortonormal (isso é informação do enunciado).

Passo 2

Definição precisa de “conjunto ortonormal”: um conjunto B=\{v_i\}\) é ortonormal se, para quaisquer índices \(i\) e \(j\), \[\langle v_i, v_j\rangle = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Isto é, os vetores são mutuamente ortogonais ( \langle v_i,v_j\rangle=0\] para \(i\neq j) e cada vetor tem norma 1 (pois \langle v_i,v_i\rangle=1). Observação importante: pela norma ser 1, o vetor zero não pode fazer parte de um conjunto ortonormal.]

Passo 3

Definição de “linearmente independente” (L.I.): um conjunto de vetores B=\{v_i\} é linearmente independente se a única combinação linear finita que dá o vetor zero é a combinação trivial. Em símbolos, para qualquer escolha finita de índices \{i_1,\dots,i_n\} e escalares \{a_{i_k}\},
\sum_{k=1}^{n} a_{i_k} v_{i_k} = 0
implica que todos os coeficientes são zero: a_{i_1}=\cdots=a_{i_n}=0.

Passo 4

Estratégia de prova (não técnica, só o plano): tomar uma combinação linear finita de vetores ortonormais que resulte no vetor zero e mostrar que cada coeficiente dessa combinação deve ser zero, usando o produto interno com um dos vetores do conjunto.

Passo 5

Começo formal da prova. Suponha que existam escalares a_1,\dots,a_n e vetores distintos v_1,\dots,v_n de B tais que
\sum_{k=1}^n a_k v_k = 0.
Agora pegue produto interno dessa igualdade com um dos vetores do conjunto, digamos v_j, para um j fixo com 1\le j\le n. Usando linearidade do produto interno na primeira componente (ou em uma componente, e simetria em espaços reais), obtemos
\Big\langle \sum_{k=1}^n a_k v_k,\; v_j\Big\rangle = \sum_{k=1}^n a_k \langle v_k, v_j\rangle.

Passo 6

Pelo lado esquerdo, como \sum_{k=1}^n a_k v_k = 0, tem-se
\Big\langle \sum_{k=1}^n a_k v_k,\; v_j\Big\rangle = \langle 0, v_j\rangle = 0.
Pelo lado direito, usando que os vetores v_k são ortonormais (ou seja, \langle v_k,v_j\rangle = 0 para k\neq j e \langle v_j,v_j\rangle=1), a soma reduz-se a
\sum_{k=1}^n a_k \langle v_k, v_j\rangle = a_j \langle v_j,v_j\rangle = a_j\cdot 1 = a_j.
Logo obtemos a_j = 0.

Passo 7

Como j foi escolhido arbitrariamente entre 1,\dots,n, a mesma argumentação dá a_k=0 para todo k=1,\dots,n. Portanto a combinação linear original é a combinação trivial, o que mostra que qualquer família finita de vetores de B é linearmente independente. Isso é exatamente a definição de que B é linearmente independente. Observações finais: o argumento vale tanto para conjuntos finitos quanto para conjuntos infinitos (a definição de independência exige checar apenas combinações lineares finitas), e o caso da coleção vazia também é coerente (conjunto vazio é ortonormal e também é L.I. por vacuidade).

Resposta

V

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