Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se o conjunto B é um conjunto ortonormal então B é linearmente independente (L.I.)
( ) Se o conjunto B é um conjunto ortonormal então B é linearmente independente (L.I.)
Passo 1
O enunciado apresenta a afirmação: “Se o conjunto
é um conjunto ortonormal então
é linearmente independente (L.I.)”.
O que se pede: decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.
O que se pede: decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.
Informações dadas (explicitadas):
- Há um conjunto
de vetores em um espaço vetorial com produto interno (ou seja, se fala em ortonormalidade, estamos num espaço com produto interno). - Supõe-se que
é ortonormal (isso é informação do enunciado).
Passo 2
Definição precisa de “conjunto ortonormal”: um conjunto
Isto é, os vetores são mutuamente ortogonais (
) e cada vetor tem norma
(pois
). Observação importante: pela norma ser
, o vetor zero não pode fazer parte de um conjunto ortonormal.]
Passo 3
Definição de “linearmente independente” (L.I.): um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear finita que dá o vetor zero é a combinação trivial. Em símbolos, para qualquer escolha finita de índices
e escalares
,
implica que todos os coeficientes são zero:
.
Passo 4
Estratégia de prova (não técnica, só o plano): tomar uma combinação linear finita de vetores ortonormais que resulte no vetor zero e mostrar que cada coeficiente dessa combinação deve ser zero, usando o produto interno com um dos vetores do conjunto.
Passo 5
Começo formal da prova. Suponha que existam escalares
e vetores distintos
de
tais que
Agora pegue produto interno dessa igualdade com um dos vetores do conjunto, digamos
, para um
fixo com
. Usando linearidade do produto interno na primeira componente (ou em uma componente, e simetria em espaços reais), obtemos
Passo 6
Pelo lado esquerdo, como
, tem-se
Pelo lado direito, usando que os vetores
são ortonormais (ou seja,
para
e
), a soma reduz-se a
Logo obtemos
.
Passo 7
Como
foi escolhido arbitrariamente entre
, a mesma argumentação dá
para todo
. Portanto a combinação linear original é a combinação trivial, o que mostra que qualquer família finita de vetores de
é linearmente independente. Isso é exatamente a definição de que
é linearmente independente. Observações finais: o argumento vale tanto para conjuntos finitos quanto para conjuntos infinitos (a definição de independência exige checar apenas combinações lineares finitas), e o caso da coleção vazia também é coerente (conjunto vazio é ortonormal e também é L.I. por vacuidade).
Resposta
V