Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Sempre que \mathrm{f}(\mathrm{c}) " =0 então a função f tem um ponto de inflexão em \mathrm{x}=\mathrm{c}

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e que justifique a resposta. A afirmação é: "Sempre que f\text{(c)}=0 então a função f tem um ponto de inflexão em x=c". A única informação dada é que o valor da função no ponto c é zero, isto é, f\text{(c)}=0. Minha tarefa: decidir V ou F e justificar passo a passo.

Passo 2

Vamos entender com clareza o que é um ponto de inflexão. Intuitivamente, um ponto de inflexão em x=c é onde a curva muda de “curvar para cima” para “curvar para baixo”, ou vice-versa. Formalmente, quando f é duas vezes diferenciável numa vizinhança de c, um critério comum é:
\text{há ponto de inflexão em }x=c\quad\Longleftrightarrow\quad f''(x)\text{ muda de sinal ao passar por }x=c.áã
Explicando as partes:
  • f''(x) é a derivada segunda de f.
  • Se f''(x)>0 numa região, dizemos que f é côncava para cima ali (curva em “tigela”).
  • Se f''(x)<0 numa região, dizemos que f é côncava para baixo ali (curva em “arco”).
    Logo, o que importa para inflexão é a mudança de sinal de f'' em torno de c, não o valor f\text{(c)}.

Passo 3

Importante: a condição f\text{(c)}=0 fala somente do valor da função em c (a curva cruza ou toca o eixo x em c). Isso não fornece informação sobre a curvatura (segunda derivada) à esquerda e à direita de c. Portanto, à primeira vista, não há razão lógica para aceitar que f\text{(c)}=0 implique automaticamente mudança de concavidade.

Passo 4

Para derrubar a afirmação basta um contraexemplo (um caso onde f\text{(c)}=0 porém não há inflexão em c). Considere a função
f(x)=x^2.
Calculemos derivadas:
f'(x)=2x,\qquad f''(x)=2.
Aqui f(0)=0. No entanto f''(x)=2>0 para todo x; a concavidade é sempre para cima e não há mudança de sinal de f'' em x=0. Logo x=0 não é ponto de inflexão, embora f(0)=0. Esse exemplo mostra que a afirmação é falsa.

Passo 5

Para equilibrar e fixar a ideia: existem funções em que f\text{(c)}=0 e também há inflexão em c. Por exemplo,
f(x)=x^3.
Temos
f'(x)=3x^2,\qquad f''(x)=6x.
Aqui f(0)=0 e f''(x)=6x muda de sinal em x=0 (é negativa para x<0 e positiva para x>0), então x=0 é ponto de inflexão. Isso mostra que f\text{(c)}=0 pode ocorrer simultaneamente com inflexão, mas não implica inflexão sempre.

Passo 6

Resumo didático para a prova (receita prática): se o enunciado pede para verificar se um ponto c é de inflexão, não pergunte se f\text{(c)}=0. Faça isto:
  1. Calcule f''(x).
  2. Verifique o sinal de f''(x) imediatamente à esquerda e à direita de c.
  3. Se houver mudança de sinal, então há inflexão; se não houver, não há inflexão.
    Observação: se f''\text{(c)}=0 isso é somente um indicativo que merece checar mudança de sinal — f''\text{(c)}=0 não garante inflexão por si só (como no caso f(x)=x^2 em 0, onde f''(0)=2 não é zero; mas existem exemplos com f''\text{(c)}=0 e sem mudança de sinal — por isso insisto: a mudança de sinal é o teste decisivo).

Resposta

F

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