Questão-01. Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
( ) Sempre que
"
então a função f tem um ponto de inflexão em
( ) Sempre que
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e que justifique a resposta. A afirmação é: "Sempre que
então a função
tem um ponto de inflexão em
". A única informação dada é que o valor da função no ponto
é zero, isto é,
. Minha tarefa: decidir V ou F e justificar passo a passo.
Passo 2
Vamos entender com clareza o que é um ponto de inflexão. Intuitivamente, um ponto de inflexão em
é onde a curva muda de “curvar para cima” para “curvar para baixo”, ou vice-versa. Formalmente, quando
é duas vezes diferenciável numa vizinhança de
, um critério comum é:
Explicando as partes:
-
é a derivada segunda de . - Se
numa região, dizemos que é côncava para cima ali (curva em “tigela”). - Se
numa região, dizemos que é côncava para baixo ali (curva em “arco”).
Logo, o que importa para inflexão é a mudança de sinal deem torno de , não o valor .
Passo 3
Importante: a condição
fala somente do valor da função em
(a curva cruza ou toca o eixo
em
). Isso não fornece informação sobre a curvatura (segunda derivada) à esquerda e à direita de
. Portanto, à primeira vista, não há razão lógica para aceitar que
implique automaticamente mudança de concavidade.
Passo 4
Para derrubar a afirmação basta um contraexemplo (um caso onde
porém não há inflexão em
). Considere a função
Calculemos derivadas:
Aqui
. No entanto
para todo
; a concavidade é sempre para cima e não há mudança de sinal de
em
. Logo
não é ponto de inflexão, embora
. Esse exemplo mostra que a afirmação é falsa.
Passo 5
Para equilibrar e fixar a ideia: existem funções em que
e também há inflexão em
. Por exemplo,
Temos
Aqui
e
muda de sinal em
(é negativa para
e positiva para
), então
é ponto de inflexão. Isso mostra que
pode ocorrer simultaneamente com inflexão, mas não implica inflexão sempre.
Passo 6
Resumo didático para a prova (receita prática): se o enunciado pede para verificar se um ponto
é de inflexão, não pergunte se
. Faça isto:
- Calcule
. - Verifique o sinal de
imediatamente à esquerda e à direita de . - Se houver mudança de sinal, então há inflexão; se não houver, não há inflexão.
Observação: seisso é somente um indicativo que merece checar mudança de sinal — não garante inflexão por si só (como no caso em , onde não é zero; mas existem exemplos com e sem mudança de sinal — por isso insisto: a mudança de sinal é o teste decisivo).
Resposta
F