Questão-05. Esboce a região
Delimitada pela curva f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} e pelo eixo OX

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a região delimitada pela curva f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} e pelo eixo OX.
Informações dadas e o que precisamos representar no desenho:
  • A curva é y=f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • O eixo OX é a reta y=0.
  • Precisamos desenhar o gráfico de y=f(x) e identificar a região entre essa curva e o eixo OX (ou seja, os pontos do plano que ficam abaixo da curva e acima de y=0).

Passo 2

Começamos estudando características básicas da função para saber que forma desenhar. Domínio e valor em alguns pontos:
  • A função está definida para todos os x\in\mathbb{R}, porque 1+x^{2}\neq0 para todo x. Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Valor em x=0:
f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1.
Portanto o ponto (0,1) é um ponto importante (máximo intuitivo).
  • Alguns pontos para guiar o esboço:
f(1)=\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad f(2)=\frac{1}{5}=0{,}2,\qquad f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{1+1/4}=0{,}8.
Esses pontos ajudam a posicionar a “altura” da curva em valores simples.

Passo 3

Comportamento para x\to\pm\infty e simetrias:
  • Limite quando x tende ao infinito:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=0.
Isso mostra que o eixo OX ( y=0) é uma assíntota horizontal: a curva se aproxima de y=0 quando |x| cresce muito.
  • Simetria: note que f(-x)=\dfrac{1}{1+(-x)^{2}}=\dfrac{1}{1+x^{2}}=f(x). A função é par, portanto o gráfico é simétrico em relação ao eixo OY (vertical).

Passo 4

Monotonicidade — onde a curva sobe e onde desce (isso ajuda a traçar a forma correta):
  • Calcule a derivada (a derivada diz a inclinação da curva):
f(x)=(1+x^{2})^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=-2x(1+x^{2})^{-2}.
  • Sinal de f'(x):
    • Para x>0, f'(x)<0 (negativa) → a função é decrescente para x>0.
    • Para x<0, f'(x)>0 (positiva) → a função é crescente para x<0.
    • Em x=0, f'(0)=0.
      Portanto x=0 é um ponto de máximo absoluto (confirmando f(0)=1 é a maior altura).

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão — para acertar a curvatura do esboço:
  • Calcule a segunda derivada (informa se a curva é “côncava para cima” ou “para baixo”):
f''(x)=2(3x^{2}-1)(1+x^{2})^{-3}.
  • Zeros de f''(x): 3x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\approx\pm0{,}577. Esses são pontos de inflexão onde a concavidade troca de sinal.
  • Interpretação:
    • Para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, temos 3x^{2}-1<0\Rightarrow f''(x)<0: curva côncava para baixo (faixa central ao redor de x=0).
    • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, temos 3x^{2}-1>0\Rightarrow f''(x)>0: curva côncava para cima nas caudas.

Passo 6

Resumo das características que vamos usar no esboço e instruções passo a passo para desenhar:
  • Pontos-chave para marcar no papel: (0,1), (\pm1,0{,}5), (\pm2,0{,}2), e talvez (\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{3}{4}) porque aí muda a concavidade (lembre: f\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)=\dfrac{1}{1+1/3}=\dfrac{3}{4}).
  • Trace os eixos OX e OY. Marque o ponto (0,1) no eixo vertical.
  • Desenhe uma linha tracejada leve em y=0 para lembrar que é assíntota horizontal; a curva nunca cruza o eixo OX porque f(x)>0 para todo x.
  • Do centro para fora: comece no ponto (0,1), desenhe a parte central levemente côncava para baixo até os pontos de inflexão \pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}, depois mude suavemente para côncava para cima nas caudas, fazendo as duas “pernas” irem se aproximando de y=0 quando |x| aumenta. Use a simetria para desenhar o lado esquerdo igual ao direito.
  • A região pedida é a área abaixo da curva e acima do eixo OX. No esboço, pinte ou sombreie a região entre a curva desenhada e a linha y=0 para todos os x (isto é, a região
\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;0\le y\le\frac{1}{1+x^{2}}\}.
). Observação: a curva não intercepta o eixo OX, mas a região entre eles é bem definida (verticalmente limitada entre y=0 e y=f(x)) e se estende horizontalmente para todo \mathbb{R}; geometricamente é uma “campânula” que decai para zero nas extremidades.

Passo 7

Dicas práticas para o traço final (para parecer com um gráfico de prova sem régua complicada):
  • Use pontos marcados e ligue-os com uma curva suave, respeitando mudança de concavidade em \pm\tfrac{1}{\sqrt{3}} e o máximo em (0,1).
  • Faça as caudas se aproximarem assintoticamente do eixo OX (não exagere cruzando o eixo).
  • Sombreie a região entre a curva e o eixo OX para mostrar claramente a região “delimitada”.
  • Se quiser uma checagem numérica rápida: a integral da função em (-\infty,\infty) é finita (igual a \pi), o que confirma que a área sob a curva é limitada — isto explica por que a figura aparenta ter “área finita” apesar de se estender para todo x.

Resposta

Região: \{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;0\le y\le\dfrac{1}{1+x^{2}}\}.

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