Questão-05. Esboce a região
Delimitada pela curva
e pelo eixo OX
Delimitada pela curva
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a região delimitada pela curva
e pelo eixo OX.
Informações dadas e o que precisamos representar no desenho:
Informações dadas e o que precisamos representar no desenho:
- A curva é
. - O eixo OX é a reta
. - Precisamos desenhar o gráfico de
e identificar a região entre essa curva e o eixo OX (ou seja, os pontos do plano que ficam abaixo da curva e acima de ).
Passo 2
Começamos estudando características básicas da função para saber que forma desenhar. Domínio e valor em alguns pontos:
- A função está definida para todos os
, porque para todo . Logo o domínio é . - Valor em
:
Portanto o ponto
é um ponto importante (máximo intuitivo).
- Alguns pontos para guiar o esboço:
Esses pontos ajudam a posicionar a “altura” da curva em valores simples.
Passo 3
Comportamento para
e simetrias:
- Limite quando
tende ao infinito:
Isso mostra que o eixo OX (
) é uma assíntota horizontal: a curva se aproxima de
quando
cresce muito.
- Simetria: note que
. A função é par, portanto o gráfico é simétrico em relação ao eixo OY (vertical).
Passo 4
Monotonicidade — onde a curva sobe e onde desce (isso ajuda a traçar a forma correta):
- Calcule a derivada (a derivada diz a inclinação da curva):
- Sinal de
: - Para
, (negativa) → a função é decrescente para . - Para
, (positiva) → a função é crescente para . - Em
, .
Portantoé um ponto de máximo absoluto (confirmando é a maior altura).
- Para
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão — para acertar a curvatura do esboço:
- Calcule a segunda derivada (informa se a curva é “côncava para cima” ou “para baixo”):
- Zeros de
: . Esses são pontos de inflexão onde a concavidade troca de sinal. - Interpretação:
- Para
, temos : curva côncava para baixo (faixa central ao redor de ). - Para
, temos : curva côncava para cima nas caudas.
- Para
Passo 6
Resumo das características que vamos usar no esboço e instruções passo a passo para desenhar:
- Pontos-chave para marcar no papel:
, , , e talvez porque aí muda a concavidade (lembre: ). - Trace os eixos OX e OY. Marque o ponto
no eixo vertical. - Desenhe uma linha tracejada leve em
para lembrar que é assíntota horizontal; a curva nunca cruza o eixo OX porque para todo . - Do centro para fora: comece no ponto
, desenhe a parte central levemente côncava para baixo até os pontos de inflexão , depois mude suavemente para côncava para cima nas caudas, fazendo as duas “pernas” irem se aproximando de quando aumenta. Use a simetria para desenhar o lado esquerdo igual ao direito. - A região pedida é a área abaixo da curva e acima do eixo OX. No esboço, pinte ou sombreie a região entre a curva desenhada e a linha
para todos os (isto é, a região
). Observação: a curva não intercepta o eixo OX, mas a região entre eles é bem definida (verticalmente limitada entre
e
) e se estende horizontalmente para todo
; geometricamente é uma “campânula” que decai para zero nas extremidades.
Passo 7
Dicas práticas para o traço final (para parecer com um gráfico de prova sem régua complicada):
- Use pontos marcados e ligue-os com uma curva suave, respeitando mudança de concavidade em
e o máximo em . - Faça as caudas se aproximarem assintoticamente do eixo OX (não exagere cruzando o eixo).
- Sombreie a região entre a curva e o eixo OX para mostrar claramente a região “delimitada”.
- Se quiser uma checagem numérica rápida: a integral da função em
é finita (igual a ), o que confirma que a área sob a curva é limitada — isto explica por que a figura aparenta ter “área finita” apesar de se estender para todo .
Resposta
Região:
.