Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
f(x)=[\cos (x)]^{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x) = [\cos(x)]^{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função tem base dependente de x, \cos(x).
  • O expoente também depende de x, x^{2}.
  • Queremos encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Por que não aplicar regras simples diretamente? Quando a base e o expoente dependem de x ao mesmo tempo, a técnica mais prática é a diferenciação logarítmica: tomar logaritmo natural de ambos os lados para transformar potência em produto. Isso facilita o uso da regra do produto e da cadeia. Vou explicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Começo definindo uma variável para facilitar a notação:
y = f(x) = [\cos(x)]^{x^{2}}.
A estratégia será obter uma expressão para \dfrac{y'}{y} (derivada de \ln y) e depois multiplicar por y para achar y'.

Passo 4

Tomo logaritmo natural dos dois lados. Lembre-se que \ln(a^b)=b\ln a (isso é a propriedade que nos salva aqui):
\ln y = \ln\big( [\cos(x)]^{x^{2}} \big) = x^{2}\,\ln(\cos(x)).
Observe: aqui usamos a regra de logaritmo que transforma potência em produto, o que simplifica muito a diferenciação.

Passo 5

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos derivada de \ln y com relação a x: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big) = \frac{1}{y}\,y' = \frac{y'}{y}.
No lado direito temos um produto x^{2}\cdot \ln(\cos(x)), então aplicamos a regra do produto: se u(x)v(x), então (uv)' = u'v + uv'. Vou aplicar isso explicitamente.

Passo 6

Calculo a derivada do lado direito passo a passo:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Para \ln(\cos(x)) uso a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln(\cos x) = \dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{d}{dx}(\cos x). E \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Portanto
\frac{d}{dx}\ln(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.
Agora aplico a regra do produto em x^{2}\ln(\cos x):
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln(\cos x)\big) = (2x)\ln(\cos x) + x^{2}\cdot\big(-\tan x\big).

Passo 7

Igualando as derivadas dos dois lados (passo 5 e passo 6) obtemos:
\frac{y'}{y} = 2x\,\ln(\cos x) - x^{2}\tan x.
Isso já é bem útil: expressamos \dfrac{y'}{y} em termos de funções conhecidas.

Passo 8

Agora isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\cdot\big(2x\,\ln(\cos x) - x^{2}\tan x\big).

Passo 9

Voltando à função original, substituímos y = [\cos(x)]^{x^{2}}. Assim a derivada final é
f'(x) = [\cos(x)]^{x^{2}}\left(2x\,\ln(\cos x) - x^{2}\tan x\right).
Pequena observação prática: para usar \ln(\cos x) sem entrar em números complexos, geralmente consideramos intervalos onde \cos x>0; a fórmula é válida em cada intervalo onde a função original e \ln(\cos x) estão bem definidas.

Resposta

f'(x) = [\cos(x)]^{x^{2}}\left(2x\,\ln(\cos x) - x^{2}\tan x\right)

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