Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas:
- A função tem base dependente de
, . - O expoente também depende de
, . - Queremos encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Por que não aplicar regras simples diretamente? Quando a base e o expoente dependem de
ao mesmo tempo, a técnica mais prática é a diferenciação logarítmica: tomar logaritmo natural de ambos os lados para transformar potência em produto. Isso facilita o uso da regra do produto e da cadeia. Vou explicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Começo definindo uma variável para facilitar a notação:
A estratégia será obter uma expressão para
(derivada de
) e depois multiplicar por
para achar
.
Passo 4
Tomo logaritmo natural dos dois lados. Lembre-se que
(isso é a propriedade que nos salva aqui):
Observe: aqui usamos a regra de logaritmo que transforma potência em produto, o que simplifica muito a diferenciação.
Passo 5
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos derivada de
com relação a
: pela regra da cadeia,
No lado direito temos um produto
, então aplicamos a regra do produto: se
, então
. Vou aplicar isso explicitamente.
Passo 6
Calculo a derivada do lado direito passo a passo:
- Derivada de
é . - Para
uso a regra da cadeia: . E . Portanto
Agora aplico a regra do produto em
:
Passo 7
Igualando as derivadas dos dois lados (passo 5 e passo 6) obtemos:
Isso já é bem útil: expressamos
em termos de funções conhecidas.
Passo 8
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Voltando à função original, substituímos
. Assim a derivada final é
Pequena observação prática: para usar
sem entrar em números complexos, geralmente consideramos intervalos onde
; a fórmula é válida em cada intervalo onde a função original e
estão bem definidas.