[Questão 02] [2,0] Em uma rede, cada tentativa de conexão simultânea é modelada por um processo de Bernoulli, apresentando 95 \% de chance de sucesso. Considere a realizaçāo de 10 tentativas de conexāo.
b) [0,7] Encontre a probabilidade de haver menos de 8 conexōes simultâneas bem-sucedidas.

Passo 1

O enunciado diz que cada tentativa de conexão é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso de 95\% e fazemos n=10 tentativas independentes. Definimos X como o número de conexões bem-sucedidas, logo
X \sim \mathrm{Bin}(10,0{,}95),
e queremos calcular
\Pr(X<8).

Passo 2

Para achar \Pr(X<8) podemos usar a definição da distribuição binomial:
\Pr(X=k)=\binom{10}{k}(0{,}95)^k(0{,}05)^{10-k}.
Como somar de k=0 a 7 dá bastante termos, é mais prático usar a regra do complemento:
\Pr(X<8)=1-\sum_{k=8}^{10}\Pr(X=k).

Passo 3

Vamos escrever os três termos do complemento:
\Pr(X=8)=\binom{10}{8}(0{,}95)^8(0{,}05)^2,
\Pr(X=9)=\binom{10}{9}(0{,}95)^9(0{,}05),
\Pr(X=10)=(0{,}95)^{10}.

Passo 4

Calculando aproximadamente os fatores:
0{,}95^8\approx0{,}6634,\quad 0{,}95^9\approx0{,}6302,\quad 0{,}95^{10}\approx0{,}5987,
\Pr(X=8)\approx45\cdot0{,}6634\cdot0{,}0025\approx0{,}0746,
\Pr(X=9)\approx10\cdot0{,}6302\cdot0{,}05\approx0{,}3151,
\Pr(X=10)\approx0{,}5987.

Passo 5

Somando esses valores:
\sum_{k=8}^{10}\Pr(X=k)\approx0{,}0746+0{,}3151+0{,}5987=0{,}9884,
logo pelo complemento
\Pr(X<8)=1-0{,}9884\approx0{,}0116.

Resposta

\Pr(X<8)\approx0,0116.

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