Um recipiente contém uma mistura inicial de 200 g de água e 200 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. Um dispositivo anexo contem 100 g de vapor de água a 100^{\circ} \mathrm{C}, pronto para ser inserido no recipiente.
(i) Quantas calorias podem ser fornecidas ao condensar todo o vapor do dispositivo?
(ii) Qual é a temperatura de equilíbrio ao inserir o vapor no recipiente?
Dados: Calor de fusão do gelo L_{f}=80 \mathrm{callg}; calor de vaporização da água L_{v}=540 \mathrm{callg}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Perguntas:
    1. (i) Quantas calorias são fornecidas ao condensar todo o vapor do dispositivo?
    2. (ii) Qual é a temperatura de equilíbrio ao inserir esse vapor no recipiente?
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Massa de água líquida inicial no recipiente: 200\\ \mathrm{g} a 0^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de gelo inicial no recipiente: 200\\ \mathrm{g} a 0^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de vapor no dispositivo: 100\\ \mathrm{g} a 100^\circ\mathrm{C}.
    • Calor de fusão do gelo: L_f=80\\ \mathrm{cal/g}.
    • Calor de vaporização da água: L_v=540\\ \mathrm{cal/g}.
    • Calor específico da água líquida: c=1\\ \mathrm{cal/(g\cdot ^\circ C)} (valor padrão, assumido).
Vou resolver primeiro (i) isoladamente e depois (ii) por balanço de energia, passo a passo e explicando a física envolvida.

Passo 2

Conceitos físicos importantes (explicados de forma didática).
  • Calor de vaporização L_v: quantidade de calor liberada quando 1\\ \mathrm{g} de vapor se condensa em água líquida à mesma temperatura. Unidade: \mathrm{cal/g}.
  • Calor de fusão L_f: quantidade de calor necessária para fundir 1\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em 1\\ \mathrm{g} de água a 0^\circ\mathrm{C}. Unidade: \mathrm{cal/g}.
  • Calor específico c: quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1\\ \mathrm{g} de substância em 1^\circ\mathrm{C}. Para a água líquida, c=1\\ \mathrm{cal/(g\cdot ^\circ C)}.
  • Conservação de energia (primeiro princípio): o calor liberado por processos que liberam energia será igual ao calor absorvido por processos que exigem energia, se desprezarmos perdas para o ambiente.
Vou aplicar essas ideias ao sistema: quando o vapor condensa e depois esfria, ele libera calor; esse calor pode ser usado para fundir o gelo e para aquecer as massas de água presentes. Montamos um balanço de calor “o que sai = o que entra”.

Passo 3

Resposta da parte (i): calor fornecido pela condensação de todo o vapor (apenas a mudança de fase vapor \to líquido a 100^\circ\mathrm{C}).
  • Fórmula: o calor libertado ao condensar é Q_{\text{cond}} = m_{\text{vapor}}\;L_v,onde m_{\text{vapor}} é a massa de vapor e L_v o calor de vaporização.
  • Substituindo: m_{\text{vapor}}=100\\ \mathrm{g} e L_v=540\\ \mathrm{cal/g}, Q_{\text{cond}} = 100\cdot 540 = 54000\\ \mathrm{cal}.
Portanto, apenas pela condensação completa, são liberadas 54000\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Preparação para a parte (ii): identificar todos os termos de calor envolvidos ao inserir o vapor no recipiente e assumir um cenário para a temperatura final.
Processos que liberam calor (fontes):
  • Condensação do vapor: Q_1 = m_v L_v.
  • Resfriamento da água condensada (de 100^\circ\mathrm{C} até a temperatura de equilíbrio T_f): Q_2 = m_v c (100 - T_f).
Processos que absorvem calor (sumidouros):
  • Fusão do gelo (todo ou parte): Q_3 = m_{\text{gelo\_derretido}} L_f.
  • Aquecimento da água formada pelo gelo derretido (de 0^\circ\mathrm{C} até T_f): Q_4 = m_{\text{gelo\_derretido}} c (T_f - 0).
  • Aquecimento da água líquida inicial (200 g a 0^\circ\mathrm{C}) até T_f: Q_5 = 200\\ c\\ (T_f - 0).
Observação importante (estratégia): se a temperatura de equilíbrio T_f>0^\circ\mathrm{C}, todo o gelo inicial precisa ter sido derretido (caso contrário ficaria gelo a 0^\circ\mathrm{C} e não toda a massa poderia atingir T_f>0). Portanto, vamos primeiro testar o caso em que todo o gelo ( 200\\ \mathrm{g}) derrete. Se isso levar a um T_f consistente (entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}), então é a solução. Caso contrário, trataríamos o caso em que sobra gelo (o que levaria T_f=0^\circ\mathrm{C}) ou sobra vapor/água a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Montagem do balanço de energia no caso em que todo o gelo derrete e resultamos numa temperatura final T_f>0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de vapor: m_v=100\\ \mathrm{g}.
  • Massa de gelo que derrete: m_{\text{gelo\_derretido}}=200\\ \mathrm{g}.
  • Calores (em \mathrm{cal}):
    Liberações:
    Q_{\text{lib}} = Q_1 + Q_2 = m_v L_v + m_v c(100 - T_f).
    Absorções:
    Q_{\text{abs}} = Q_3 + Q_4 + Q_5 = m_{\text{gelo\_derretido}} L_f + m_{\text{gelo\_derretido}} c T_f + 200\\ c\\ T_f.
  • Igualando (conservação de energia: calor liberado = calor absorvido):
    m_v L_v + m_v c(100 - T_f) = m_{\text{gelo\_derretido}} L_f + m_{\text{gelo\_derretido}} c T_f + 200\\ c\\ T_f.
Agora substituímos os números e simplificamos.

Passo 6

Substituição numérica e resolução algébrica.
  • Valores numéricos:
    m_v=100,\quad L_v=540,\quad c=1,\quad m_{\text{gelo\_derretido}}=200,\quad L_f=80.
  • Escrevendo a equação:
    100\cdot 540 + 100\cdot 1\cdot(100 - T_f) = 200\cdot 80 + 200\cdot 1\cdot T_f + 200\cdot 1\cdot T_f.
  • Calculando termos numéricos:
    54000 + 100(100 - T_f) = 16000 + 200 T_f + 200 T_f.
54000 + 10000 - 100 T_f = 16000 + 400 T_f.
64000 - 100 T_f = 16000 + 400 T_f.
  • Isolando T_f: 64000 - 16000 = 400 T_f + 100 T_f,
48000 = 500 T_f,
T_f = \frac{48000}{500} = 96.
Portanto, a solução obtida é T_f = 96^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação de consistência física (checar hipóteses).
  • Verificamos a hipótese inicial de que todo o gelo derreteu: a solução deu T_f=96^\circ\mathrm{C}>0^\circ\mathrm{C}, então é consistente — realmente todo o gelo teria que derreter para atingir essa temperatura.
  • Verificamos também que T_f<100^\circ\mathrm{C}, logo não sobra vapor a 100^\circ\mathrm{C} no equilíbrio. Tudo está fisicamente consistente.
  • Para intuir os números: a condensação de 100\\ \mathrm{g} libera muita energia ( 54000\\ \mathrm{cal}), o que é suficiente para derreter 200\\ \mathrm{g} de gelo (que precisa de 200\cdot 80 = 16000\\ \mathrm{cal}) e ainda aquecer a grande massa de água resultante até uma temperatura alta ( 96^\circ\mathrm{C}).

Passo 8

Resumo didático final — como resolver esse tipo de problema na prova (passos práticos):
  1. Identificar todas as massas e temperaturas iniciais e os calores latentes.
  2. Listar os processos que liberam calor e os que absorvem calor (condensação, resfriamento, fusão, aquecimento).
  3. Escolher uma hipótese para T_f (por exemplo T_f>0^\circ\mathrm{C} implica todo o gelo derrete), montar a equação de conservação de energia Q_{\text{lib}}=Q_{\text{abs}}.
  4. Resolver a equação para T_f. Verificar se a solução é consistente com a hipótese. Se não for, testar o caso alternativo (ex.: T_f=0^\circ\mathrm{C} com gelo residual, ou T_f=100^\circ\mathrm{C} com vapor residual).
  5. Checar unidades e ordens de grandeza (confere se o número faz sentido fisicamente).

Resposta

(i) 54000\\ \mathrm{cal}
(ii) 96^\circ\mathrm{C}

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