Questão 02. Calcule o fluxo de \vec{F}, na direção de \vec{n} (vetor unitário), através da fronteira \gamma nos seguintes casos:
\vec{F}=\nabla f, onde f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \gamma é a fronteira da metade superior do disco unitário e \vec{n} a normal que aponta para fora da metade superior do disco unitário.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular o fluxo de \vec{F} através da fronteira \gamma da metade superior do disco unitário, com \vec{n} sendo a normal unitária que aponta para fora da metade superior do disco.
  • Foi dado: \vec{F}=\nabla f com f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região considerada é a metade superior do disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
  • A fronteira \gamma é fechada e formada por duas partes distintas:
    1. \gamma_{1}: o semicírculo superior \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1,\; y\ge0\}.
    2. \gamma_{2}: o diâmetro sobre o eixo x, isto é \{(x,0)\mid -1\le x\le 1\}.
  • Observação importante: f e \nabla f estão indefinidos no ponto (0,0). Esse ponto pertence à fronteira \gamma (é o meio do diâmetro). Se necessário, trataremos essa singularidade explicitamente; normalmente um ponto isolado na fronteira não contribui para o integral de linha.

Passo 2

Estratégia de solução (sem fazer ainda). Vou calcular o fluxo como a integral de superfície (linha sobre a fronteira):
\text{fluxo}=\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds,
mas como \gamma é união de \gamma_{1} e \gamma_{2} vou separar:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\int_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds+\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds.
Vou:
  • encontrar \nabla f explicitamente (para r>0);
  • parametrizar \gamma_{1} e \gamma_{2};
  • determinar a normal exterior \vec{n} em cada parte;
  • calcular cada integral e somar.

Passo 3

Calcular \nabla f. Para f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2} com (x,y)\neq(0,0) temos derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\vec{F}=\nabla f=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right).
Em coordenadas polares, escrevendo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, isso é simplesmente \nabla f=(x/r,y/r), ou seja vetor unitário radial.

Passo 4

Fluxo pela semicircunferência \gamma_{1} (parte curva). Parametrização conveniente: para \theta\in[0,\pi],
x(\theta)=\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta.
Nesse parâmetro temos r=1 sempre. Em r=1 o campo vale
\vec{F}(\theta)=\left(\frac{x}{1},\frac{y}{1}\right)=(\cos\theta,\sin\theta).
Agora a normal unitária exterior à metade do disco, na borda circular, é a normal radial apontando para fora do disco; na circunferência de raio 1 ela coincide com o vetor posição unitário (\cos\theta,\sin\theta). Portanto
\vec{n}(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta).
O produto escalar é
\vec{F}\cdot\vec{n}=(\cos\theta,\sin\theta)\cdot(\cos\theta,\sin\theta)=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
O elemento de comprimento de arco na circunferência de raio 1 é ds=1\cdot d\theta=d\theta. Assim o fluxo através de \gamma_{1} é
\int_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\int_{0}^{\pi} 1\;d\theta=\pi.

Passo 5

Fluxo pelo diâmetro \gamma_{2}\) (parte reta sobre o eixo \(x\)). Parametrização: para \(t\in[-1,1]\), \[x(t)=t,\qquad y(t)=0.
A normal unitária exterior à metade superior do disco, na borda que é o eixo x, aponta para baixo (para fora da região que está acima do eixo); assim
\vec{n}=(0,-1)\qquad\text{(constante ao longo do diâmetro).}â
Avaliar \vec{F} ao longo do diâmetro (para y=0 e t\neq 0):
\vec{F}(t,0)=\left(\frac{t}{|t|},0\right)=\begin{cases}(1,0),& t>0,\\(-1,0),& t<0.\end{cases}
No ponto t=0\] \(\vec{F} é indefinido, mas um único ponto não contribui para a integral de linha (medida zero). O produto escalar com a normal é
\vec{F}\cdot\vec{n}=\left(\pm1,0\right)\cdot(0,-1)=0.
O elemento de comprimento ds ao longo do diâmetro é ds=|dt|, mas como o integrando é zero em todo ponto onde está definido, a contribuição inteira da \gamma_{2} é
\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=0.)

Passo 6

Somar as contribuições das duas partes da fronteira:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\int_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds+\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\pi+0=\pi.

Resposta

\pi

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