Questão 02. Calcule o fluxo de
, na direção de
(vetor unitário), através da fronteira
nos seguintes casos:
, onde
é a fronteira da metade superior do disco unitário e
a normal que aponta para fora da metade superior do disco unitário.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular o fluxo de
através da fronteira da metade superior do disco unitário, com sendo a normal unitária que aponta para fora da metade superior do disco. - Foi dado:
com . - A região considerada é a metade superior do disco unitário
- A fronteira
é fechada e formada por duas partes distintas: -
: o semicírculo superior . -
: o diâmetro sobre o eixo , isto é .
-
- Observação importante:
e estão indefinidos no ponto . Esse ponto pertence à fronteira (é o meio do diâmetro). Se necessário, trataremos essa singularidade explicitamente; normalmente um ponto isolado na fronteira não contribui para o integral de linha.
Passo 2
Estratégia de solução (sem fazer ainda). Vou calcular o fluxo como a integral de superfície (linha sobre a fronteira):
mas como
é união de
e
vou separar:
Vou:
- encontrar
explicitamente (para ); - parametrizar
e ; - determinar a normal exterior
em cada parte; - calcular cada integral e somar.
Passo 3
Calcular
. Para
com
temos derivadas parciais:
Logo, para
,
Em coordenadas polares, escrevendo
, isso é simplesmente
, ou seja vetor unitário radial.
Passo 4
Fluxo pela semicircunferência
(parte curva). Parametrização conveniente: para
,
Nesse parâmetro temos
sempre. Em
o campo vale
Agora a normal unitária exterior à metade do disco, na borda circular, é a normal radial apontando para fora do disco; na circunferência de raio
ela coincide com o vetor posição unitário
. Portanto
O produto escalar é
O elemento de comprimento de arco na circunferência de raio
é
. Assim o fluxo através de
é
Passo 5
Fluxo pelo diâmetro
A normal unitária exterior à metade superior do disco, na borda que é o eixo
, aponta para baixo (para fora da região que está acima do eixo); assim
Avaliar
ao longo do diâmetro (para
e
):
No ponto
é indefinido, mas um único ponto não contribui para a integral de linha (medida zero). O produto escalar com a normal é
O elemento de comprimento
ao longo do diâmetro é
, mas como o integrando é zero em todo ponto onde está definido, a contribuição inteira da
é
Passo 6
Somar as contribuições das duas partes da fronteira: