Questão 02) Calcule os limites das sequências que seguem:
a_{n}=\frac{8 n^{10} \cdot \operatorname{sen}(n!)}{3 n^{11}+7}
\qquad

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
a_{n} = \frac{8n^{10}\,\sin\bigl(n!\bigr)}{3n^{11}+7}.
O conteúdo aqui é limite de sequência, e vamos usar o fato de que \sin(x) é sempre limitado entre -1 e 1, aplicando o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).

Passo 2

Como para todo x vale -1 \le \sin(x)\le 1,
temos para todo n
-8n^{10} \;\le\; 8n^{10}\,\sin(n!)\;\le\;8n^{10}.
Dividindo essa desigualdade por 3n^{11}+7>0, obtemos
-\frac{8n^{10}}{3n^{11}+7} \;\le\; a_{n} \;\le\; \frac{8n^{10}}{3n^{11}+7}.

Passo 3

Note que
0 \;\le\;\frac{8n^{10}}{3n^{11}+7} \;<\; \frac{8n^{10}}{3n^{11}} \;=\; \frac{8}{3n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{8}{3n}=0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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