Questão 03) Considere a série que segue, utilizando algum teste de convergência (deixe claro o que vai utilizar) responda se ela converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Isso recai no tema de séries numéricas e, como há um fator
, o teste de Leibniz (ou critério da série alternada) é uma boa escolha.
Passo 2
Definimos
de modo que o termo geral da série seja
. Para aplicar Leibniz, observamos os valores positivos
Passo 3
Mostramos que
satisfaz as três hipóteses do critério de Leibniz:
-
pois implica , logo . -
é decrescente porque, para ,
-
.
Passo 4
Pelas hipóteses satisfeitas, o critério de Leibniz garante que
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Os somatórios parciais dão
que diverge quando
. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge de forma condicional (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).