Questão 03) Considere a série que segue, utilizando algum teste de convergência (deixe claro o que vai utilizar) responda se ela converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr).
Isso recai no tema de séries numéricas e, como há um fator (-1)^{n+1}, o teste de Leibniz (ou critério da série alternada) é uma boa escolha.

Passo 2

Definimos
u_n = \ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr),
de modo que o termo geral da série seja (-1)^{n+1}u_n. Para aplicar Leibniz, observamos os valores positivos
b_n = |u_n| = -\,\ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr) = \ln\!\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr).

Passo 3

Mostramos que (b_n) satisfaz as três hipóteses do critério de Leibniz:
  1. b_n>0 pois \tfrac{n}{n+1}<1 implica \ln(n/(n+1))<0, logo -\ln(n/(n+1))>0.
  2. (b_n) é decrescente porque, para n\ge1,
b_{n+1} = \ln\!\biggl(1+\frac1{n+1}\biggr) < \ln\!\biggl(1+\frac1n\biggr) = b_n.
  1. \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\ln(1+1/n)=\ln(1)=0.

Passo 4

Pelas hipóteses satisfeitas, o critério de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr).
Os somatórios parciais dão
\sum_{k=1}^{N}\ln\!\biggl(\frac{k+1}{k}\biggr) = \ln\bigl(N+1\bigr),
que diverge quando N\to\infty. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge de forma condicional (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

Exercícios relacionados